[論文レビュー] Solutions of the fractional Schrödinger equation via diagonalization - A plea for the harmonic oscillator basis part 1: the one dimensional case

Richard Herrmann|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 36被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、調和振動子基底を用いて、分数マトリックス力学的手法を提案し、Riesz分数微分の非局所的運動エネルギー行列要素の解析的計算を可能にする。主な貢献は、これらの行列要素の閉形式表現の導出および一般化された分数的パリティ対称性の発見であり、特定の状況では計算複雑性を16倍まで低減し、運動エネルギーとポテンシャルエネルギー行列の関係において予期しない簡略化を明らかにする。

ABSTRACT

A covariant non-local extention if the stationary Schrödinger equation is presented and it's solution in terms of Heisenbergs's matrix quantum mechanics is proposed. For the special case of the Riesz fractional derivative, the calculation of corresponding matrix elements for the non-local kinetic energy term is performed fully analytically in the harmonic oscillator basis and leads to a new interpretation of non local operators in terms of generalized Glauber states. As a first application, for the fractional harmonic oscillator the potential energy matrix elements are calculated and the and the corresponding Schrödinger equation is diagonalized. For the special case of invariance of the non-local wave equation under Fourier-transforms a new symmetry is deduced, which may be interpreted as an extension of the standard parity-symmetry.

研究の動機と目的

• 1次元における分数シュレーディンガー方程式を解くための体系的でマトリックス力学的なフレームワークを構築すること。
• 特にRiesz定義による分数微分に起因する非局所的運動エネルギー項の取り扱いの困難さに対処すること。
• 弱い特異性および長距離核を有する系において、調和振動子基底が正確に取り扱えることを示すこと。
• 特に一般化された分数的パリティ不変性を含む、分数的量子調和振動子における隠れた対称性を同定すること。
• 分数量子力学における再利用可能で高精度な計算基盤を提供し、摂動理論への応用を含む可能性を示すこと。

提案手法

• ハイゼンベルクのマトリックス力学を用いて分数シュレーディンガー方程式を形式化し、ハミルトニアンを非局所的運動エネルギー演算子と局所的ポテンシャルエネルギー演算子の和として表現する。
• 調和振動子基底 |n⟩ において、正規直交性およびエルミート多項式の既知の性質を活用して、行列要素 ⟨m|ˆp²α|n⟩ を解析的に計算する。
• 非局所的演算子を一般化されたグローバー状態の重ね合わせとして解釈するため、一般化されたGlauber状態表現を導入する。
• フーリエ不変性条件を適用し、座標空間内での90°回転を介した複素位相の拡張により、標準的パリティを拡張する新しい四次対称性を導出する。
• 級数展開における対称性とキャンセルパターンを活用して、運動エネルギー行列要素のコンactな閉形式表現を導出する。
• |m−n|/2 の偶奇に基づく符号則を通じて、運動エネルギーとポテンシャルエネルギー行列要素の直接的な相関関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数シュレーディンガー方程式は、調和振動子基底を用いたマトリックス力学によって、効率的に解けるか？
• RQ2 Riesz分数微分の下で、分数的量子調和振動子にどのような対称性が現れるか？
• RQ3 任意の分数的次数に対して、非局所的運動エネルギー行列要素を解析的にどのように計算できるか？
• RQ4 分数的状況下で、運動エネルギーとポテンシャルエネルギー行列要素の関係は何か？そして、簡略化をもたらすか？
• RQ5 フーリエ不変性から導かれる一般化された対称性は、量子力学における標準的パリティの拡張と解釈できるか？

主な発見

• 分数シュレーディンガー方程式のマトリックス表現により、非局所的運動エネルギーをポテンシャルエネルギーから分離でき、あらかじめ計算された行列要素を異なるポテンシャルに再利用可能となり、高精度な解法が可能になる。
• Riesz分数微分に対しては、運動エネルギー行列要素が閉形式の解析的表現を有し、計算コストを顕著に低減する。
• 新しい一般化された分数的パリティ対称性が同定され、座標空間内での90°回転に対応し、四重の位相列 {i, −1, −i, 1} を与える。特定の量子数パターンでは、計算作業を16倍まで削減する。
• この対称性条件により、顕著な簡略化が生じる：⟨m|T(α)|n⟩ = ±⟨m|V(α)|n⟩ は |m−n|/2 の偶奇に依存し、運動エネルギー行列要素をポテンシャル行列要素から直接計算可能になる。
• 本手法により、誤差マップに「灯台」が現れることが判明した—偶数の整数位置 α = 2n および p = 2m において、著しく精度が向上する領域が観測され、数値的安定性が顕著に高いことが示された。
• 本手法は、分数微分を一般化されたGlauber状態の重ね合わせとして物理的解釈可能であり、分数的微積分と量子光学状態を結びつける。