[論文レビュー] Solutions of the Gross-Pitaevskii and time-fractional Gross-Pitaevskii equations for different potentials with Homotopy Perturbation Method

Neslihan Üzar, Dong Han+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2012

Strong Light-Matter Interactions参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ボーズ・アインシュタイン凝縮体における非マルコフ的ダイナミクスをモデル化するため、時間分数階グロス＝ピタエフスキー方程式を提案し、ホモトピー摂動法（HPM）を用いてゼロおよび光学格子ポテンシャル下での方程式を解く。主な発見は、解がミタグ＝レフラー関数を介して伸びた指数的時間発展を示し、標準的な指数的緩和とは異なる記憶効果を示していることである。

ABSTRACT

In this study, after we have briefly introduced the standard Gross-Pitaevskii equation, we have suggested fractional Gross-Pitaevskii equations to investigate the time-dependent ground state dynamics of the Bose-Einstein condensation of weakly interacting bosonic particle system which can includes non-Markovian processes or non-Gaussian distributions and long-range interactions. Only we focused the time-fractional Gross-Pitaevskii equation and have obtained solutions of the standard Gross-Pitaevskii and time-fractional Gross-Pitaevskii equations for attractive and repulsive interactions in the case external trap potentials $V(x)=0$ and optical lattice potential $V(x) =\pm\sin^{2}x$ by using Homotopy Perturbation Method. We have found that the Homotopy Perturbation Method solutions of the Gross-Pitaevskii equation for these potentials and interactions are the same analytical results of it. Furthermore we have also found that solutions of the time-fractional Gross-Pitaevskii equation for these potentials and interactions can be given in terms of Mittag-Leffler function. The solutions of the time-fractional Gross-Pitaevskii equation provide that the time evolution of the ground state dynamics of Bose-Einstein condensation of bosonic particles deviates exponential form, and evolutes with time as stretched exponentially.

研究の動機と目的

• ボーズ・アインシュタイン凝縮の転移温度に関する理論的予測と実験的観測の間の不一致を解消すること。
• 分数マスカルスを用いて非マルコフ的過程、長距離相互作用、フラクタル構造をボーズ・アインシュタイン凝縮体のダイナミクスに組み込むこと。
• 異なる外部ポテンシャル下での時間分数階グロス＝ピタエフスキー方程式に対する解析的解の開発。
• ホモトピー摂動法が、量子多体系における非線形分数階偏微分方程式を解く信頼できるツールであることを検証すること。
• 分数階パラメータ α が弱い相互作用を示すボソン系の基底状態ダイナミクスに与える影響を調査すること。

提案手法

• 記憶効果をモデル化するため、ボソン系にキャプトウ分数階微分を用いて時間分数階グロス＝ピタエフスキー方程式を定式化する。
• 反発的および引力的相互作用の両方に対して、整数階および分数階グロス＝ピタエフスキー方程式を解くためにホモトピー摂動法（HPM）を適用する。
• 二つの外部ポテンシャルに対して解を導出する：V(x) = 0（自由空間）およびV(x) = ±sin²x（光学格子）。
• 元の非線形方程式をより単純な方程式に変形するホモトピーを構築し、反復的解法の構築を可能にする。
• 解はミタグ＝レフラー関数を用いて表現され、分数階ダイナミクスの特徴たる伸びた指数的時間発展を捉えている。
• 異なる α 値における波動関数の時間発展の数値的解析を通じて、HPM級数の収束を確認した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間分数階グロス＝ピタエフスキー方程式は、標準的な整数階方程式と比較して、ボーズ・アインシュタイン凝縮体のダイナミクスをどのように改善するか？
• RQ2 分数階パラメータ α およびミタグ＝レフラー関数は、凝縮体波動関数の時間発展にどの程度の影響を及ぼすか？
• RQ3 ホモトピー摂動法は、さまざまなポテンシャルおよび相互作用タイプ下で、時間分数階グロス＝ピタエフスキー方程式に対して信頼性のある解析的解を生成できるか？
• RQ4 分数階および整数階の場合において、反発的および引力的相互作用の解はどのように異なるか？
• RQ5 外部ポテンシャル（V(x) = 0 および V(x) = ±sin²x）は、凝縮体の非マルコフ的ダイナミクスにどのような影響を及えるか？

主な発見

• 整数階グロス＝ピタエフスキー方程式に対するHPM解は、V(x) = 0 および V(x) = ±sin²x の両方で既知の解析的解と一致し、手法の信頼性を確認した。
• 時間分数階グロス＝ピタエフスキー方程式の解はミタグ＝レフラー関数を用いて表現され、伸びた指数的時間発展を示している。
• α < 1 の場合、波動関数の時間発展は指数的減衰から著しく逸脱し、時間の経過とともに顕著になる記憶依存的ダイナミクスを示している。
• 波動関数 ψ^α_g<0(x,t) の実部および虚部は、すべての α 値に対して振動的挙動を示すが、α → 0 または t → 0 の極限では定常状態に近づく。
• 分数階パラメータ α は、長時間における波動関数に強く影響し、α = 0.5 と α = 1.0 の間で解の時間発展に顕著な差が生じる。
• 時間分数階GP方程式は非マルコフ的効果を捉えており、実際のボソン系における理論的・実験的臨界定温の不一致の背後には、分数階ダイナミクスが関与している可能性を示唆している。