[論文レビュー] Solutions of the Schrödinger equation, boundary condition at the origin, and theory of distributions

Y. C. Cantelaube|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2012

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、径数シュレーディンガー方程式における境界条件 u(0) = 0 が、分布の意味でのラプラシアンを計算する際に正当化されていないことを再検討する。u(r) を用いた径数方程式の分析と分布論を適用することで、著者たちは標準的条件が分布的微分の理解の誤りに起因し、可積分な解に対しては不要であることを証明する。主な貢献は、(9)式の縮約されたシュレーディンガー方程式が、u(0) = 0 のときのみ元のシュレーディンガー方程式と同値であり、それ以外の場合はデルタ関数を含む別の方程式を解くことになり、境界条件の必要性が無効になることである。

ABSTRACT

In a central potential the usual resolution of the Schrödinger equation in spherical coordinates consists in determining the solutions R(r) or u(r) of the radial equations considered as the radial parts of the Schrödinger equation. However, the solutions must be supplemented with the boundary condition u(0) = 0 in order to rule out singular solutions. There is still no consensus to justify this condition, with good reason. It is based on a misunderstanding that comes from the fact that the radial equation in terms of R(r) is derived from the Schrödinger equation, and the radial equation in terms of u(r) from the former, by taking the Laplacians in the sense of the functions. By taking these Laplacians in the sense of the distributions, as it is required, we show that the radial equations are derived from the Schrodinger equation when their solutions are regular, but not when they are singular, so that the equations need not be supplemented with any supplementary condition such as u(0) = 0.

研究の動機と目的

• 径数波動関数における境界条件 u(0) = 0 の正当化に関して長年の量子力学的曖昧さを解消すること。
• 波動関数のラプラシアンに分布論を厳密に適用することで、径数シュレーディンガー方程式の数学的基盤を明確にすること。
• 標準的な径数方程式の導出が、分布的微分を点関数として扱うことに起因し、誤った物理的結論を導くことの説明。
• u(0) ≠ 0 を満たす解が元のシュレーディンガー方程式ではなく、デルタ関数を含む修正された方程式を満たすことを示し、u(0) = 0 条件の必要性を無効にすること。

提案手法

• 波動関数 Ψ のラプラシアンを分布の意味で計算するため、R(r) と u(r) = rR(r) を用いた径数シュレーディンガー方程式を分析する。
• 特に u(r) ∼ r^{−(ℓ+1)} のような特異解を取り扱うために、擬関数（Pf）の理論を適用する。
• 分布の意味での Ψ のラプラシアンを計算することで正しい径数方程式の形を導出し、特異解が追加のデルタ関数項を生じることを示す。
• 点関数微分を用いた標準的導出と分布に基づく導出を比較し、後者が分布的特異性を考慮しないことを明らかにする。
• 分布論における恒等式 Δ(1/r) = −4πδ(r) を用いて、R(r) ∼ 1/r がハミルトニアンにデルタ関数寄与を生じさせることを示し、標準的径数方程式の無効性を立証する。
• 式 (9) の縮約されたシュレーディンガー方程式が、u(0) = 0 のときのみ元のシュレーディンガー方程式と同値であり、それ以外の場合は HΨ = EΨ + (ħ²√π/m)u(0)δ(r) を満たすが、元の SE とは異なることの証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ径数シュレーディンガー方程式において u(0) = 0 の境界条件が一般的に課されるのか、そしてそれが数学的に正当化されているのか。
• RQ2 点関数微分ではなく分布論を用いることで、径数シュレーディンガー方程式の導出にどのような影響を与えるのか。
• RQ3 特異解を考慮する場合、R(r) を用いた径数方程式と u(r) を用いた方程式との正しい関係は何か。
• RQ4 式 (9) の縮約されたシュレーディンガー方程式が、いつ元のシュレーディンガー方程式と同値になるのか。
• RQ5 なぜ u(0) ≠ 0 を満たす解が元のシュレーディンガー方程式を満たさないのか、そして実際に満たす方程式は何か。

主な発見

• 可積分な解に対しては、u(0) = 0 の境界条件は数学的に不要であり、分布論の誤った適用に起因する。
• Ψ のラプラシアンを分布の意味で計算すると、シュレーディンガー方程式 (3) から導かれる径数方程式 (7) は正則解に対してのみ有効であり、特異解に対しては成立しない。
• u(0) ≠ 0 を満たす解は、HΨ = EΨ + (ħ²√π/m)u(0)δ(r) を満たすが、元のシュレーディンガー方程式ではない。
• u(r) を用いた径数方程式 (9) は、u(0) = 0 のときのみ元のシュレーディンガー方程式と同値であり、それ以外の場合はデルタ関数を含む別の方程式から導かれる。
• 標準的な径数方程式の導出は、分布的微分を点関数微分として扱うことに起因しており、特異関数では失敗し、誤った境界条件を導く。
• 擬関数 Pf.r^{−(ℓ+1)} は径数方程式 (31) の解ではなく、分布的項 Q_{-(ℓ+1)}(δ) を含む修正された方程式の解であるため、再定式化の必要性が示される。