[論文レビュー] Solutions of the Schrödinger equation given by solutions of the Hamilton--Jacobi equation

G. F. Torres del Castillo, Citlalli Teresa Sosa-Sánchez|arXiv (Cornell University)|May 12, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、作用関数 $S$ がラプラス方程式 ($ abla^2 S = 0$) を満たすことを要求することで、ハミルトニアン＝ヤコビ（HJ）方程式の解からシュレーディンガー方程式の厳密解を導出する。$S$ がHJ方程式とラプラス方程式の両方を満たすならば、$ \psi = \exp(iS/\hbar)$ はシュレーディンガー方程式の厳密解である。主な貢献は、既知の調和的または線形なラプラス方程式の解が、厳密な量子状態をもたらすようなポテンシャル $V$ を体系的に構成する方法を提供することにある。

ABSTRACT

We find the form of the potential depending on the coordinates and the time such that a solution, $S$, of the Hamilton--Jacobi equation yields an exact solution, $\exp ({ m i} S/\hbar)$, of the corresponding Schrödinger equation.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン＝ヤコビ（HJ）方程式の解とシュレーディンガー方程式の厳密解との間の直接的な対応関係を確立すること。
• HJ方程式の解 $S$ がラプラス方程式 ($ abla^2 S = 0$) を満たすようなポテンシャル $V$ のクラスを特定すること。これにより、$ \psi = \exp(iS/\hbar)$ が厳密解となることが保証される。
• 1次元、2次元、3次元におけるそのようなポテンシャルおよびそれに対応する厳密な量子状態の明示的例を構成すること。
• 得られた波動関数が非正規化可能であるが、完全な基底をなしており、保存される時間に依存する演算子の固有関数であることを示すこと。

提案手法

• ラプラス方程式 ($ abla^2 S = 0$) の解 $S$ を出発とし、磁場がない場合のポテンシャル $V$ を $V = -\frac{\partial S}{\partial t} - \frac{1}{2m}(\nabla S)^2$ で定義する。
• $n$ 次元におけるラプラス方程式の一般解を用いて、$ \psi = \exp(iS/\hbar)$ がシュレーディンガー方程式を厳密に満たすようなポテンシャル族を生成する。
• 1次元では、線形解 $S(x,t) = \alpha(t)x + \beta(t)$ を用いて、時間に依存する一様ポテンシャルを生成する。
• 2次元では、$S = \operatorname{Re}[f(z,t)]$ がラプラス方程式を満たすような正則関数 $f(z,t)$ を用い、反発型調和振動子や $V \propto -1/r^2$ のような複素ポテンシャルを導出する。
• 1次元および2次元の解を組み合わせることで3次元ポテンシャルを構成し、例えば反発型振動子と線形ポテンシャルの組み合わせを例に挙げる。
• 得られた波動関数が、$p - Ft$ や $e^{\pm \omega t}(p_x \mp m\omega x)$ のような保存演算子の固有関数であることを検証し、固有値が $S$ の任意パラメータに対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアン＝ヤコビ方程式の解 $S$ が、$\psi = \exp(iS/\hbar)$ がシュレーディンガー方程式の厳密解であることを保証するラプラス方程式 ($ abla^2 S = 0$) を満たすのはどのような条件下か？
• RQ2 調和的または線形なラプラス方程式の解から得られる厳密な量子状態をもたらすようなポテンシャル $V(x,t)$ のクラスは何か？
• RQ3 この方法で構成された非正規化可能な波動関数は、ヒルベルト空間の完全な基底をなすことができるか？
• RQ4 ラプラス方程式の $S$-解から導かれる厳密解に関連する保存量は何か？
• RQ5 低次元の解を組み合わせることで、高次元における解を体系的に構成する方法は何か？

主な発見

• 任意のラプラス方程式 ($ abla^2 S = 0$) の解 $S$ に対して、ポテンシャルが $V = -\frac{\partial S}{\partial t} - \frac{1}{2m}(\nabla S)^2$ と定義されれば、波動関数 $\psi = \exp(iS/\hbar)$ はシュレーディンガー方程式の厳密解である。
• 1次元では、解 $S(x,t) = (Ft + P)x - \frac{(Ft + P)^3}{6mF}$ が、時間に依存しない一様力 $V = -Fx$ に対して、厳密解 $\psi(x,t) = \exp\left(\frac{i}{\hbar}\left[(Ft + P)x - \frac{(Ft + P)^3}{6mF}\right]\right)$ を与える。
• 時間に依存する線形ポテンシャル $V = -ktx$ の場合、解 $S(x,t) = \left(\frac{kt^2}{2} + P\right)x - \frac{1}{2m}\left(\frac{k^2t^5}{20} + \frac{kPt^3}{3} + P^2t\right)$ は、保存演算子 $p - \frac{1}{2}kt^2$ の固有関数であり、固有値は $P$ である。
• 2次元では、正則関数 $f(z,t) = \frac{m\omega}{2}z^2 + (P_1 e^{-\omega t} - iP_2 e^{\omega t})z + \frac{1}{4m\omega}(P_1 e^{-\omega t} - iP_2 e^{\omega t})^2$ が、反発型調和振動子ポテンシャル $V = -\frac{m\omega^2}{2}(x^2 + y^2)$ の解 $S$ を生成し、$ \psi$ は $e^{\omega t}(p_x - m\omega x)$ および $e^{-\omega t}(p_y + m\omega y)$ の固有関数である。
• 中心力ポテンシャル $V = -k/(x^2 + y^2)$ の場合、解 $S = \sqrt{\frac{mk}{2}}\ln(x^2 + y^2)$ は時間に依存しないHJ方程式およびラプラス方程式の解であり、厳密なシュレーディンガー解をもたらす。
• 3次元では、1次元線形ポテンシャルと2次元反発型振動子ポテンシャルを組み合わせることで、$V = -\frac{m\omega^2}{2}(x^2 + y^2) - Fz$ のようなポテンシャルが得られ、それに応じた厳密解 $\psi = \exp(iS/\hbar)$ は3つの独立パラメータ $P_1, P_2, P_3$ に依存する。