[論文レビュー] Solutions of Word Equations Over Partially Commutative Structures

Volker Diekert, Artur Jeż+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

semigroups and automata theory参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、右側アーティン群やコxeter群などの自由部分的に可換なモノイドおよび群（例えば、右側アーティンとコxeter群）上の語方程式の解集合が、認識可能な制約のもとでEDT0L言語であることを確立している。これらの解集合は、拡張されたモノイド上の非決定的有限オートマトン（NFA）によって認識可能であり、解集合の決定性はNSPACE(n log n)で可能である。また、充足可能性と有限性の両方がこの複雑さのクラス内で決定可能であり、自由モノイドおよび群に関する先行研究を一般化している。

ABSTRACT

Let $M(A,I)$ be a free partially commutative monoid with involution and $G(A,I)$ be its quotient group, e.g. a right-angled Artin or Coxeter group. Given a system of word equations over $M(A,I)$ with recognizable constraints with input size $n$ we show the structural result about the solution set of the system: the set of all solutions in $M(A,I)$ or in the group $G(A,I)$ is an EDT0L language. That is, it is given by an NFA $\mathcal{A}$ recognizing endomorphisms over some extended monoid. Moreover, $\mathcal{A}$ is effectively constructible by an NSPACE($n \log n$)-transducer. This implies that Satisfiability: `Is the system is solvable?' and Finiteness: `Are there infinitely many solutions?' can be decided in NSPACE($n \log n$). In the uniform version, these problems are PSPACE-complete, but for a suitable subclass of constraints we have more precise complexities and we conjecture that the decision problems above are NP-complete in this setting. Our results apply also to word equation over free monoids in the classical case where the involution is reading words right-to-left. This allows to specify that solutions are restricted to be palindromes.

研究の動機と目的

• 部分的に可換なモノイドおよび群、特に右側アーティン群やコxeter群における語方程式の決定可能性を扱う。
• 自由モノイドおよび自由群に関する先行結果を、自己同型と部分的可換関係を含む形に一般化する。
• 認識可能な制約のもとでの解集合がEDT0L言語であることを示し、一様かつ効果的な記述を提供する。
• 充足可能性と解集合の有限性のためのタイトな複雑さの上限をNSPACE(n log n)で確立する。
• すべての自己準同型を符号化するNFAを構成するための構成的技法を提供する。

提案手法

• 元のモノイドからの方程式を、構造が強化された自由リソースモノイドへと持ち上げるための被覆アルファベットと準同型を導入する。
• 段階的正規形を定義し、T-還元を用いて、余分または見えない成分を削除することで、方程式系を簡略化する。
• 拡張されたモノイド上の自己準同型を符号化するNFAの遷移を介して、すべての解を符号化するオートマトンUを構築する。
• ブロック圧縮およびペア圧縮の技術を適用して、解の同値性を保ちつつ方程式のサイズを縮小する。
• S-TおよびT-Tアークを除去するためのT-スプリットおよびT-リフト手順を用い、システムを正規化され、解ける形に変換する。
• オートマトンUが正規展開プロセスを通じて言語を生成することを示し、解言語がEDT0Lであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分的に可換なモノイドにおける語方程式の解集合が、認識可能な制約のもとでEDT0L言語であるか？
• RQ2 このような解集合の充足可能性と有限性は、NSPACE(n log n)内で決定可能か？
• RQ3 すべての解に対応する自己準同型を認識するNFAの効果的構成は可能か？
• RQ4 自己同型と部分的可換性は、語方程式の構造および決定可能性にどのように影響するか？
• RQ5 EDT0L言語のような一様な形式的記述によって、解集合を効果的に記述可能か？

主な発見

• 認識可能な制約のもとで、自由部分的に可換なモノイドまたは群上の任意の語方程式系の解集合はEDT0L言語である。
• NSPACE(n log n)内で、すべての解を符号化する自己準同型を認識するNFAを効果的に構築可能である。
• 解集合の充足可能性と有限性は、構築の複雑さと一致するNSPACE(n log n)内で決定可能である。
• 自然な制約のクラスに関して、両問題がNP完全であると著者らは予想している。
• 証明は純粋に組合せ論的であり、深い定理に依存しないが、自由モノイドおよび群に関する先行研究の結果を包含・一般化している。