[論文レビュー] Solutions to degenerate complex Hessian equations

Lu Hoang Chinh|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 32被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、コンpact Kähler多様体上の退化複素ヘッセ方程式の連続解の存在および一意性を、$(\omega,m)$-下準調和関数と容量推定に基づくポテンシャル理論枠組みを用いて確立する。有理型同次多様体で不変Kähler形式を持つ場合、解は明示的な指数に依存するHölder連続性を示す。これらの結果は、複素設定におけるラプラス方程式およびMonge-Ampère方程式を一般化する。

ABSTRACT

Let $(X,ω)$ be an $n$-dimensional compact Kähler manifold. We study degenerate complex Hessian equations of the form $(ω+dd^cφ)^m\wedge ω^{n-m}=F(x,φ)ω^n.$ Under some natural conditions on $F$, this equation has a unique continuous solution. When $(X,ω)$ is rational homogeneous we further show that the solution is Hölder continuous.

研究の動機と目的

• コンpact Kähler多様体上での退化複素ヘッセ方程式のためのポテンシャル理論を確立すること。
• 密度 $F(x,\varphi)$ に対する自然な可積分性および単調性条件のもとで、連続解の存在および一意性を証明すること。
• 有理型同次多様体において、解の高次の正則性（Hölder連続性）が達成可能なように理論を拡張すること。
• 統一されたヘッセ枠組みの中で、複素Monge-Ampère方程式およびラプラス方程式を一般化すること。

提案手法

• $(\omega,m)$-下準調和関数のクラスを、$\omega$-擬上同調和関数の一般化として導入する。
• 容量に基づく準一様収束の概念を用いて、有界かつ準連続な$(\omega,m)$-下準調和関数上で複素ヘッセ作用素を定義する。
• 比較原理を確立し、準一様収束におけるヘッセ作用素の連続性を示す。
• 連続関数の完備距離空間における不動点定理を用いて解の存在を証明する。
• 有理型同次空間におけるHaar積分による群不変正則化を活用して正則性を向上させる。
• $L^2$および$L^\infty$推定と容量技術を用いて、解のHölder連続性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンpact Kähler多様体上で、退化複素ヘッセ方程式 $(\omega + dd^c\varphi)^m \wedge \omega^{n-m} = F(x,\varphi)\omega^n$ が連続解をもつための条件は何か？
• RQ2 下準調和関数の正則化が失敗する場合に、複素ヘッセ作用素のための一貫性のあるポテンシャル理論をどのように構築できるか？
• RQ3 何らかの追加的な幾何的構造（例えば、有理型同次空間）が、連続性からHölder正則性への向上を可能にするか？
• RQ4 密度 $F$ に自然な単調性および可積分性条件が課された場合、解は加法的定数の不定性を除き一意に定まるか？

主な発見

• 条件 (F1)-(F3) を満たす限り、退化複素ヘッセ方程式の解は一意に連続解として存在し、加法的定数の不定性を除いて一意である。
• $F(x,\cdot)$ が $\varphi$ に関して厳密に増加である場合、解は加法的不定性なしに一意である。
• K-不変な $\omega$ を持つ有理型同次多様体上では、解は指数 $\gamma < \frac{2(mp - n)}{mnp + 2mp - 2n}$ をもってHölder連続である。
• $m = n$ のとき、このHölder指数は [EGZ09] で知られている指数に還元され、Monge-Ampèreの場合を回復する。
• 解のクラスは群平均化に関して安定であり、対称空間における正則化および正則性の伝播を可能にする。
• 容量に基づく枠組みにより、準一様収束におけるヘッセ作用素の連続性が保証され、Bedford-Taylor理論がヘッセ設定へと拡張される。