[論文レビュー] Solutions to homogeneous Monge-Ampère equations of homothetic functions and their applications to production models in economics

Bang‐Yen Chen|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、同次型の生産関数が同次型のモンジュ＝アンペール方程式を満たす条件を分類し、そのグラフのガウス＝クロネッカー曲率がゼロであるための必要十分条件が、基礎となる同次関数がモンジュ＝アンペール方程式を満たすか、または同次型関数が線形同次であることに限定されることを示している。これらの結果は、コブ＝ダグラス関数やACMS関数を含む代表的な経済生産モデルに応用され、そのグラフがユークリッド空間内で平坦であるための幾何的条件が明らかにされた。

ABSTRACT

Mathematically, a homothetic function is a function of the form $f({\bf x})=F(h(x_1,...,x_n))$, where $h$ is a homogeneous function of any degree $d e 0$ and $F$ is a monotonically increasing function. In economics homothetic functions are production functions whose marginal technical rate of substitution is homogeneous of degree zero. In this paper we classify homothetic functions satisfying the homogeneous Monge-Ampère equation. Several applications to production models in economics will also be given.

研究の動機と目的

• n次元空間における同次型関数が同次型モンジュ＝アンペール方程式を満たす条件を分類すること。
• 同次型生産関数のグラフがゼロのガウス＝クロネッカー曲率を持つための幾何的条件を特定すること。
• 分類結果を、コブ＝ダグラス関数やACMS関数を含む古典的経済生産モデルに応用すること。
• 生産関数のグラフの曲率特性とその経済的解釈との関係を明確にすること。
• 同次型生産関数のグラフが平坦であるための必要十分条件を、同次性と関数の合成構造の観点から確立すること。

提案手法

• 論文は、同次型関数の2階微分のヘッシアン行列式を用いて、同次型モンジュ＝アンペール方程式を分析する。
• d ≠ 1 である d-同次関数が満たす微分関係を導出するために、オイラーの同次関数定理を適用する。
• クラメルの定理と余因子展開を用いて、f = F(h) のヘッシアンを h のヘッシアンに関連づけ、2階微分の連鎖法則を適用する。
• f = F(h) のヘッシアン行列の構造を分析し、F′, F′′ および h のヘッシアンの余因子を含む行列式の公式を導出する。
• 線形同次関数に関する既知の結果を活用して、このような関数が常に det(h_ij) = 0 を満たすことを示す。
• 導出された条件を具体的な経済生産関数に適用し、そのグラフが平坦（すなわち、ゼロのガウス＝クロネッカー曲率を持つ）かどうかを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同次型関数 f = F(h) が同次型モンジュ＝アンペール方程式 det(f_ij) = 0 を満たす条件は何か？
• RQ2 同次型生産関数のグラフが平坦（すなわち、ゼロのガウス＝クロネッカー曲率を持つ）であるのはいつか？
• RQ3 コブ＝ダグラス関数やACMS関数のような古典的経済生産関数において、同次型構成のもとでグラフが平坦になるのはどのような場合か？
• RQ4 基礎となる同次関数 h が det(h_ij) = 0 を満たすという条件の幾何的意味は何か？
• RQ5 生産関数のグラフの曲率特性は、その同次型の程度と関数形とどのように関係するか？

主な発見

• 同次型関数 f = F(h) が同次型モンジュ＝アンペール方程式を満たすのは、h が d ≠ 1 の d-同次関数であり、det(h_ij) = 0 である場合であり、F が F′ ≠ 0 であれば、F がどのような関数であっても成立する。
• 同次型関数のグラフがゼロのガウス＝クロネッカー曲率を持つのは、h が det(h_ij) = 0 を満たすか、または f が線形同次である場合に限る。
• コブ＝ダグラス関数 P = γx₁^α₁⋯xₙ^αₙ に対して、F∘P のグラフがゼロ曲率を持つのは、F と P が両方とも線形である場合に限る。
• ACMS関数 Q = γ(∑aᵢ^ρxᵢ^ρ)^{d/ρ} に対して、F∘Q のグラフがゼロ曲率を持つのは、ρ = 1 または f が線形同次である場合に限る。
• deg(h) ≠ 1 の場合、F∘h の平坦性に関して、条件 det(h_ij) = 0 は必要かつ十分であり、この条件は h が退化しているか線形同次である場合にのみ成立する。