[論文レビュー] Solutions to Master Equations of Quantum Brownian Motion in a General Environment with External Force

Christen H. Fleming, B. L. Hu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2007

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、外部力が作用する一般の環境に結合された量子ブラウン運動オシレーターのHPZマスター方程式に対して、閉形式解を導出する。ラウレンツ級数展開可能なスペクトル密度に対しては、マスター方程式が古典的パラメトリックオシレーターの解法に帰着することを示す。主な結果として、初期状態がすべて、熱的バスタードに依存する共分散と外部力に依存する平均を持つガウス密度行列に時間発展することを示し、最終時間における不確定性およびエントロピーの明示的公式が提示されている。

ABSTRACT

We revisit the model of a system made up of a Brownian quantum oscillator under the influence of an external classical force and linearly coupled to an environment made up of many quantum oscillators at zero or finite temperature. We show that the HPZ master equation for the reduced density matrix derived earlier [B.L. Hu, J.P. Paz, Y. Zhang, Phys. Rev. D 45, 2843 (1992)] with coefficients obtained from solutions of integro-differential equations can assume closed functional forms for a fairly general class of spectral densities of the environment at arbitrary temperature and coupling strength. As an illustration of these new results we solve the corresponding master equation and calculate, among other physical quantities, the uncertainty function whose late time behavior can be obtained fully. This produces a formula for investigating the standard quantum limit which is central to addressing many theoretical issues in macroscopic quantum phenomena and experimental concerns related to low temperature precision measurements. We find that any initial state always settles down to a Gaussian density matrix whose covariance is determined by the thermal reservoir and whose mean is determined by the external force. For more general spectra we show that the solution of the master equation can be reduced to solving for the motion of a classical parametric oscillator with parametric frequency determined by the unsolved for master equation coefficients. States in these systems experience evolution that is parametrically similar to the simpler evolution explicitly determined for in the case of Laurent-series spectra.

研究の動機と目的

• 一般環境および外部力が作用する量子オシレーターのHPZマスター方程式に対して、正確かつ閉形式の解を導出すること。
• スペクトル密度の広いクラスに対して、HPZ方程式の積分微分係数を関数形式で表現することで、その複雑さを解消すること。
• 非マークフィアンダイナミクスおよび熱化における温度、結合強さ、UV/IRカットオフの役割を明確にすること。
• マスター方程式の解が、古典的パラメトリックオシレーターの解法に帰着することを示し、状態の時間発展に対する完全な解析的制御を可能にすること。
• 非マークフィアンかつ有限温度環境下における不確定性、エントロピー、および標準量子制限の振る舞いを調査すること。

提案手法

• 著者らは、影響関数経路積分法を用いて、周波数に関してローレンツ級数展開可能なスペクトル密度（UVおよびIRカットオフを含む）に対して、マスター方程式の係数を導出する。
• マスター方程式は、位相空間特徴関数に変換され、累積モーメントの時間発展を追跡するために特性曲線法が適用される。
• 解は、時間に依存する周波数が未解決係数によって決定されるパラメトリックオシレーターの古典的運動方程式の解に帰着される。
• 任意の温度および結合強さにおいて、マスター方程式係数の解析的表現が得られ、最終時間における漸近的挙動も含む。
• 解から不確定性関数および線形エントロピーが明示的に計算され、熱化挙動が明らかになる。
• 外部古典的力の効果は、平均軌道を変更する一方で、幅および累積モーメントは不変に保たれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のスペクトル密度および任意の温度に対して、HPZマスター方程式を閉形式で解く方法は何か？
• RQ2 任意の結合強さを有する非マークフィアンかつ有限温度環境下での、縮約密度行列の最終時間挙動はいかなるものか？
• RQ3 UVおよびIRカットオフが、マスター方程式係数（特に異常拡散項）における発散に与える影響は何か？
• RQ4 外部古典的力は、平均以外の波束の幅や形状に、どの程度の影響を及ぼすか？
• RQ5 非局所的散乱を有する場合、一般マスター方程式の完全な解が、古典的パラメトリックオシレーター問題に帰着可能か？

主な発見

• すべての初期状態が、最終的に熱的バスタードに依存する共分散と外部力に依存する平均を持つガウス密度行列に発展する。
• 不確定性関数は、最終時間において有限で温度依存の値に到達し、任意の温度および結合強さに対して明示的な解析的表現が得られた。
• 無限大のUVカットオフ極限において、正規拡散および異常拡散係数に対数発散が現れ、物理的UVカットオフの必要性を示唆する。
• ゼロ温度バスタードへの任意に強い結合は、位置の任意の精度での局在化を引き起こし、非摂動的効果を強調する。
• 一般マスター方程式の解は、局所的散乱の場合と同一構造形を有する1次元古典的パラメトリックオシレーターの解に帰着される。
• 外部力は状態の平均にのみ影響し、幅およびすべての高次累積モーメントは不変に保たれ、波束形状の安定性が確認された。