[論文レビュー] Solutions to the Reifenberg Plateau problem with cohomological spanning conditions

Jenny Harrison, Harrison Pugh|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ℝⁿ内の任意の次元および余次元の曲面上で Hölder連続密度関数の最小化解の存在と正則性を確立する。同定義は、コhomology的境界条件に基づく。Reifenbergのプレートウ問題を、Čechコhomologyを用いて一般化し、新しいコhomological補題とスライシング不等式を導入することで、最小化解が可積分的であり、境界を除く部分で Hölder連続に微分可能な構造を持つことを証明する。また、Hausdorff測度は有限であり、下からの正の密度境界を持つ。

ABSTRACT

We prove existence and regularity of minimizers for Hölder densities over general surfaces of arbitrary dimension and codimension in \(\R^n \), satisfying a cohomological boundary condition, providing a natural dual to Reifenberg's Plateau problem. We generalize and extend methods of Reifenberg, Besicovitch, and Adams, in particular we generalize a particular type of minimizing sequence used by Reifenberg (whose limits have nice properties, including lower bounds on lower density and finite Hausdorff measure,) prove such minimizing sequences exist, and develop cohomological spanning conditions. Our cohomology lemmas are dual versions of the homology lemmas in the celebrated appendix by Adams found in Reifenberg's 1960 paper.

研究の動機と目的

• ホモロジーではなくコホモロジー的境界条件を用いて、Reifenbergのプレートウ問題を任意の次元および余次元に拡張すること。
• 特に余次元 >1 の場合に、ホモロジーに基づく境界条件が失敗する多成分境界の問題に対処すること。
• Reifenbergの最小化列を一般化し、下からの密度境界と有限測度境界を伴うその存在を証明すること。
• 変分問題への応用を目的として、Adamsのホモロジー的補題のコホモロジー的類似を構築すること。
• Hölder密度仮定のもとで、漸近的単調性とPreissの可積分性定理を用いて最小化解の正則性を確立すること。

提案手法

• ℝ-モジュール係数を用いたČechコホモロジーを用いて、特定のコサイクルがそれらの上に拡張できないような曲面を定義するコホモロジー的境界条件を導入する。
• 測度の射影による制御を可能にする、Eilenberg不等式のコホモロジー的変種である、新たな鋭いスライシング不等式を確立する。
• 漸近的単調性結果（補題5.1.5）を適用し、Preissの定理を経由して最小化解の可積分性を導出する。
• Hölder連続密度関数を用いたVitali型被覆議論を用いて、局所的測度とエネルギーを比較し、最小性を保証する。
• Reifenbergの正則列技術を再考し、コホモロジー的設定とHölder密度に適合させる。
• 境界に関して (M,ω,δ)-最小性を示すことで最小性と正則性を証明し、Almgrenの基準を用いてHölder正則性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモロジーではなくコホモロジー的境界条件を用いて、Reifenbergのプレートウ問題を任意の次元および余次元に一般化できるか？
• RQ2 Hölder密度関数の最小化列は存在し、その結果得られる集合が有限Hausdorff測度と正の下からの密度を持つだろうか？
• RQ3 コホモロジー的条件により、最小化解が可積分的であり、境界を除く部分で almost everywhere に真の接平面を持つだろうか？
• RQ4 Reifenbergの1960年の論文におけるAdamsのホモロジー的補題のコホモロジー的双対は存在するだろうか？また、それが存在と正則性の証明にどのように寄与するか？
• RQ5 Hölder密度仮定のもとで、最小化解の正則性を局所的にHölder連続に微分可能な構造へと高められるだろうか？

主な発見

• 与えられたコホモロジー類 L を含むコバウンダリーを持つ曲面 X における、重み付きHausdorff測度 ∫_X f d𝒮^m の下界は達成され、かつ正の値をとる。
• すべての最小化解 X₀ は A を除く部分で m-可積分的であり、X₀ ∖ A 上で 𝒮^m-ほとんど everywhere に真の接平面を持つ。
• 開集合 V が存在し、𝒮^m((X₀ ∩ int(C)) ∖ (A ∪ V)) = 0 かつ X₀ ∩ V が ℝⁿ 内の局所的に Hölder 連続に微分可能な部分多様体（指数 α）である。
• 最小化解 X₀ には、coboundary ⊃ L を満たす最小の曲面 X₀′ が存在し、これはクラス 𝒮(A,C,L,m) 内の真の部分集合を含まない。
• 最小化解は ω(r) = 4|f|_{C^{0,α}}r^α / a を用いて (M,ω,δ)-最小性を満たし、Almgrenの正則性理論の適用が可能になる。
• この結果により、非退化な境界を有するコンパクトな m 次元部分多様体の m 次元Hausdorff測度に正の下界が存在することが示され、境界のコホモロジー的構造に依存する。