[論文レビュー] Solvability criteria for the equation $x^q=a$ in the field of $p$-adic numbers

J. M. Casas, B. A. Omirov+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2011

advanced mathematical theories参考文献 14被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、任意の $q$ に対して $p$-進数体 $\mathbb{Q}_p$ における方程式 $x^q = a$ の明示的可解性基準を確立する。一般の場合を、(i) $q$ が $p$ で割り切れない場合、および (ii) $q = p$ の場合の2つの基本的ケースに還元する。解が存在する場合の構成的アルゴリズムを提供し、任意の $p$-進数が $\varepsilon\delta y^q$ の形で有限個の表現を持つことを証明する。ここで $\varepsilon$ と $\delta$ は $p$ に依存する特定の有限集合を走る。主な貢献は、$\mathbb{Q}_p$ における $q$ 乗可解性の完全でアルゴリズム的な特徴付けである。

ABSTRACT

We establish the solvability criteria for the equation $x^q=a$ in the field of $p$-adic numbers, for any $q$ in two cases: (i) $q$ is not divisible by $p$; (ii) $q=p$. Using these criteria we show that any $p$-adic number can be represented in finitely many different forms and we describe the algorithms to obtain the corresponding representations. Moreover it is showed that solvability problem of $x^q=a$ for any $q$ can be reduced to the cases (i) and (ii).

研究の動機と目的

• 任意の $q$ に対して $\mathbb{Q}_p$ における方程式 $x^q = a$ の完全な可解性基準を確立すること。
• $x^q = a$ の一般可解性問題を、$q$ が $p$ で割り切れない場合と $q = p$ の2つの基本的ケースに還元すること。
• 解が存在する場合にその計算を可能にする構成的アルゴリズムを提供すること。
• 任意の $p$-進数が $x = \varepsilon\delta y^q$ の形に表されるすべての可能な表現を記述すること。ここで $\varepsilon$ と $\delta$ は明示的に定義された有限集合に属する。
• $x^2 = a$ に関する既知の結果を、代数的分類問題に関連する $p$-進体における高次方程式 $x^q = a$ に拡張すること。

提案手法

• $x^q = a$ の構造を分析するための $p$-進付値と $p$-進展開の使用。
• 離散対数と $p^k$ を法とする原始根を用いて、可解性条件をインデックスに関する合同条件に還元。
• $p$-進設定における反復的解法を構成するためのヘンゼルの補題と上げ上げ技術の活用。
• $p$-進単数と $p$-冪の代表元を表す有限集合 $\mathcal{E}_1$ と $\mathcal{E}_2$ を定義し、それらを用いてすべての $q$ 乗類をパrameter化。
• $p \nmid m$ である $q = m p^s$ の一般ケースを、置換 $y = x^{p^s}$, $z = x^{p^{s-1}}$ などを通じて、2つの基本ケースを繰り返し適用することで還元。
• 還元と構成の基盤として、定理 3.7（$p$ 乗剰余に関する）と定理 3.2（$p \nmid q$ の $q$ 乗剰余に関する）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $q$ が $p$ で割り切れないとき、方程式 $x^q = a$ が $\mathbb{Q}_p$ で解をもつための必要十分条件は何か？
• RQ2 $x^p = a$ が $\mathbb{Q}_p$ で可解であるための基準は何か。また、解を明示的に構成する方法は？
• RQ3 $x^q = a$ の可解性を、$p \nmid q$ および $q = p$ の2つの基本ケースにどのように還元できるか？
• RQ4 すべての $p$-進数が $q$ 乗数である集合の構造は何か。また、任意の $a \in \mathbb{Q}_p$ は $\varepsilon\delta y^q$ の形にどのように表せるか？
• RQ5 与えられた $p$ に対して、$p$-進数の非 $q$ 乗成分をパラメータ化する明示的な有限集合 $\mathcal{E}_1$ と $\mathcal{E}_2$ は何か？

主な発見

• $q$ が $p$ で割り切れない場合、方程式 $x^q = a$ は $\mathbb{Q}_p$ で可解であるための必要十分条件として、$r$ を $p^k$ を法とする原始根とするとき、$\mathrm{ind}_r(a)$ が $\gcd(q, \varphi(p^k))$ で割り切れることが求められる。
• $q = p$ の場合、方程式 $x^p = a$ は $\mathbb{Q}_p$ で可解であるための必要十分条件として、定理 3.7 の条件が満たされることである。すなわち $\gamma(a) \geq 0$ であり、$a$ の $p^2$ を法とする先頭項が特定の非 $p$ 乗剰余の集合に属していること。
• 任意の $p$-進数 $a \in \mathbb{Q}_p$ は、一意的に $a = \varepsilon \delta y^p$ の形に表され、ここで $\varepsilon \in \mathcal{E}_1$ かつ $\delta \in \mathcal{E}_2$ であり、$\mathcal{E}_1$ と $\mathcal{E}_2$ は $p$ に依存する有限集合である。
• $p = 3$ の場合、$\mathcal{E}_1 = \{1, 4, 5\}$ かつ $\mathcal{E}_2 = \{1, 3, 9\}$ であるため、任意の $a \in \mathbb{Q}_3$ は $a = \varepsilon \delta y^3$ の形に表され、$\varepsilon \in \mathcal{E}_1$, $\delta \in \mathcal{E}_2$ を満たす。
• $p = 5$ の場合、$\mathcal{E}_1 = \{1, 11, 12, 13, 14\}$ かつ $\mathcal{E}_2 = \{1, 5, 25, 125, 625\}$ であるため、任意の $a \in \mathbb{Q}_5$ は一意的に $a = \varepsilon \delta y^5$ の形に表される。
• 一般ケース $q = m p^s$（ただし $p \nmid m$）は、$y^m = a$ を解いた後、$z^p = \tilde{y}$, $w^p = \tilde{z}$ などを順次解くことで還元され、可解性条件は2つの基本ケースから引き継がれる。