[論文レビュー] Solvability of multidimensional quadratic BSDEs

Asgar Jamneshan, Michael Kupper+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、終値条件が有界であるか無限大であるかにかかわらず、多次元2次後向き stochastic 微分方程式（BSDE）の解の存在および一意性の十分条件を確立する。主な貢献は、終値条件またはシステムの依存性が十分に小さい場合に解が存在することを証明し、従来の結果をより広範な設定へと拡張することにある。

ABSTRACT

We consider multidimensional quadratic BSDEs with bounded and unbounded terminal conditions. We provide sufficient conditions which guarantee existence and uniqueness of solutions. In particular, these conditions are satisfied if the terminal condition or the dependence in the system are small enough.

研究の動機と目的

• 一般の終値条件（有界でないものも含む）をもつ多次元2次BSDEの可解性を扱う。
• 多次元設定における解の存在および一意性を保証する十分条件を同定する。
• 終値条件および生成子の依存性に関する仮定を緩和することで、従来の2次BSDEに関する結果を拡張する。
• 非線形ダイナミクスを含む数学的ファイナンスおよび確率的制御分野への応用の理論的基盤を提供する。

提案手法

• 著者らは、適切なバナッハ空間における不動点定理を用いて、解の存在および一意性を確立する。
• 指数マーティンガル技術およびBMO（有界平均変動）理論に基づく事前推定を導入する。
• 生成子における2次成長を、終値条件または係数の依存性の小ささ条件によって制御する。
• 重要な要素として、無限大の終値条件に対処するための局所化手続きの使用である。
• 古典的な比較定理および事前推定を、多次元ケースへと拡張する分析である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 終値条件が無限大である場合に、多次元2次BSDEが一意解をもつための条件は何か？
• RQ2 生成子における2次成長をどのように制御すれば可解性が保証されるか？
• RQ3 終値条件または依存構造にどの程度の小ささ条件が存在すれば、解の存在および一意性が保証されるか？
• RQ4 本結果は、有界な終値条件に制限されていない多次元設定へと拡張可能か？

主な発見

• 適切な小ささ条件の下で、無限大の終値条件をもつ多次元2次BSDEについても、解の存在および一意性が確立される。
• 解は、勾配成分における2次成長を示す生成子に対しても存在する。
• 小ささ条件は、終値条件または生成子の依存構造のいずれかに適用される。
• 従来の結果（有界な終値条件またはスカラー方程式に限る）を一般化する結果が得られた。