[論文レビュー] Solvable limits of a 4D noncommutative QFT

Harald Grosse, Raimar Wulkenhaar|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2013

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 20被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、モーリー空間上の4次元非可換φ⁴量子場理論の(θ→∞)極限が、位置空間における厳密に解ける行列模型に還元されることを確立している。各トポロジカル・セクターごとに添字が一致する行列相関関数としてスウィンガーゼル関数を表現することで、著者らは反射正定性が、対角2点関数がStieltjes関数であることと同値であることを証明した。数値的証拠により、物理的符号の結合定数に対してはこの性質が成立しない可能性が示唆され、運動量移動のない非自明なトポロジカル相互作用が存在する可能性がある。

ABSTRACT

In previous work we have shown that the (θ->\infty)-limit of ϕ^4_4-quantum field theory on noncommutative Moyal space is an exactly solvable matrix model. In this paper we translate these results to position space. We show that the Schwinger functions are symmetric and invariant under the full Euclidean group. The Schwinger functions only depend on matrix correlation functions at coinciding indices per topological sector, and clustering is violated. We prove that Osterwalder-Schrader reflection positivity of the Schwinger two-point function is equivalent to the question whether the diagonal matrix two-point function is a Stieltjes function. Numerical investigations suggest that this can at best be expected for the wrong sign of the coupling constant. The corresponding Wightman functions would describe particles which interact without momentum transfer. The theory differs from a free theory by the presence of non-trivial topological sectors.

研究の動機と目的

• 4次元非可換φ⁴QFTの解ける極限を運動量空間から位置空間に翻訳すること。
• 位置空間におけるスウィンガーゼル関数が、位置空間で完全なユークリッド群に関して対称的かつ不変であることを確立すること。
• オスターワルダー＝シュライダーの反射正定性が成立するかを分析し、対角行列2点関数のStieltjes性と関連付けること。
• 理論の物理的解釈を調査すること、特に相互作用における運動量移動の不在について。
• 非自明なトポロジカル・セクターが、自由理論とモデルを区別する役割を果たす仕組みを明確にすること。

提案手法

• Moyal構造に適合したラゲール関数の基底を用いて位置空間にモデルを定式化し、行列模型表現を可能にした。
• 各トポロジカル・セクターごとに添字が一致する制限を課した行列相関関数としてスウィンガーゼル関数を表現した。
• オスターワルダー＝シュライダーの反射正定性条件は、対角行列2点関数がStieltjes関数であるかどうかの確認に帰着される。
• 著者らは、Ward恒等式およびCarleman型の特異積分方程式を用いてモデルの可解性を分析した。
• ラゲール多項式の積の生成関数を導出し、行列添字に関する正確な和分を可能にした。
• ℝ₊上で正で単調減少な関数に関する非線形積分方程式の解を用いて、すべての相関関数を計算した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元非可換φ⁴理論の(θ→∞)極限は、位置空間でも厳密に解けるか？
• RQ2 位置空間におけるスウィンガーゼル関数は、完全なユークリッド群に関して対称的かつ不変か？
• RQ3 オスターワルダー＝シュライダーの反射正定性は満たされるか？その条件は行列2点関数のどのような性質に依存するか？
• RQ4 物理的符号の結合定数に対して、対角行列2点関数がStieltjes関数になり得るか？
• RQ5 理論の非自明なトポロジカル・セクターおよび運動量移動の不在の物理的解釈は何か？

主な発見

• 位置空間におけるスウィンガーゼル関数は、対称的かつ完全なユークリッド群に関して不変であり、時空共変性が確認された。
• すべてのスウィンガーゼル関数は、各トポロジカル・セクターごとに添字が一致する行列相関関数にのみ依存し、構造が単純化された。
• クラスタリング性が破れているため、非自明な長距離相関が存在することが示唆された。
• 反射正定性が成り立つのは、対角行列2点関数がStieltjes関数である場合に限る。
• 数値的証拠により、物理的符号の結合定数に対してStieltjes性が成立しない可能性が示唆され、反射正定性に問題がある可能性がある。
• 理論は運動量移動のない粒子の相互作用を記述しており、自由理論とは非自明なトポロジカル・セクターの違いによってのみ区別される。