[論文レビュー] Solvable Sextic Equations

C. Boswell, M. L. Glasser|ArXiv.org|Apr 1, 2005

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有理数係数をもつ既約な六次方程式が複素数体上代数的に可解かどうかを判定するための基準を提示する。これは、そのガロア群を2つのリゾルベント方程式を用いて分析することによって得られる。可解性が成立するのは、対称関数の根に基づいて導かれる15次または10次のリゾルベント多項式のいずれかが有理数解を持つときであり、五次方程式に対するDummitの手法を六次方程式へ拡張するものである。

ABSTRACT

Criteria are given for determining whether an irreducible sextic equation with rational coefficients is algebraically solvable over the complex numbers.

研究の動機と目的

• 有理数係数をもつ既約な六次方程式に対して、Dummitの五次方程式の可解性基準を拡張すること。
• 六次方程式のガロア群がS₆の推移的部分群JおよびKの部分群であるための必要十分条件を特定すること。
• 元の六次方程式の可解性を示す15次および10次の明示的なリゾルベント方程式を構成すること。
• 対称関数および多項式不変量を用いた計算ツールを提供することにより、可解性を決定するための手法を整備すること。

提案手法

• 一般の六次方程式をTchirnhausen変換を用いてx⁶ + x² + dx + e = 0の形に簡約する。
• S₆の推移的部分群J = S₂#S₃およびK = S₃#Z₂を、既約な六次方程式の可解なガロア群として唯一の可能性と特定する。
• JおよびKに関して不変な対称関数θ₁およびφ₁を定義し、それらの共役がリゾルベント多項式f(x)およびg(x)を生成するようにする。
• f(x)およびg(x)の係数を根に関する対称多項式として導出し、簡約化された六次方程式から得られるdおよびeの関数として表現する。
• ガロア群GがJ（それぞれK）の部分群であるための必要十分条件として、f(x)（それぞれg(x)）が有理数解をもつことであることを確立する。
• 判別式Δを用いて、ガロア群がA₆に属するかどうかを確認する。√Δが有理数であれば、A₆に属する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理数係数をもつ既約な六次方程式が複素数体上根号を用いて可解となる条件は何か？
• RQ2 リゾルベント多項式を用いて六次方程式のガロア群をどのように特定できるか？
• RQ3 S₆における推移的部分群JおよびKの安定化子に対応する根の対称関数は何か？
• RQ4 15次および10次リゾルベント方程式の有理数解を用いて六次方程式の可解性をテストできるか？
• RQ5 判別式およびJとKがA₆と交わる部分群は、可解な六次方程式のガロア群の分類をどのように精緻化するか？

主な発見

• 簡約化された六次方程式x⁶ + x² + dx + e = 0のガロア群がJの部分群であるための必要十分条件は、その15次リゾルベント多項式f(x)が有理数解をもつことである。
• ガロア群がKの部分群であるための必要十分条件は、その10次リゾルベント多項式g(x)が有理数解をもつことである。
• d = 1/2の場合、多項式36x⁶ + 36x² + 18x + 5のガロア群はJの部分群であり、したがって可解である。
• 多項式x⁶ - x² + 2x + 1 = 0は、d = 2、e = 1のときg(x)が有理数解をもつことから、Kの部分群であるガロア群をもち、可解であることが確認できる。
• f(x)およびg(x)の両方が有理数解をもつ場合、ガロア群はJ ∩ K ≅ D₆（位数12の二面体群）の部分群である。
• 判別式Δ = 46656e⁵ + 13824e³ - 43200d²e² + 22500d⁴e + 1024e - 3125d⁶ - 256d²を用いて、ガロア群がA₆に属するかどうかをテストする。