[論文レビュー] Solving an inverse elliptic coefficient problem by convex non-linear semidefinite programming

Bastian Harrach|arXiv (Cornell University)|May 24, 2021

Numerical methods in inverse problems参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限回の測定を持つ逆楕円型係数問題、特にロビン境界条件を伴う伝達問題に対して、凸非線形半定値計画法の定式化を導入する。ノイマン＝ディリクレ作用素の単調性および凸性の性質を活用することで、逆問題が一意に解ける凸最適化問題に同値に再定式化できることを証明し、局所的極小値を排除するとともに、ローレンダー順序を用いた明示的な誤差推定および測定回数の基準を可能にする。

ABSTRACT

Several applications in medical imaging and non-destructive material testing lead to inverse elliptic coefficient problems, where an unknown coefficient function in an elliptic PDE is to be determined from partial knowledge of its solutions. This is usually a highly non-linear ill-posed inverse problem, for which unique reconstructability results, stability estimates and global convergence of numerical methods are very hard to achieve. The aim of this note is to point out a new connection between inverse coefficient problems and semidefinite programming that may help addressing these challenges. We show that an inverse elliptic Robin transmission problem with finitely many measurements can be equivalently rewritten as a uniquely solvable convex non-linear semidefinite optimization problem. This allows to explicitly estimate the number of measurements that is required to achieve a desired resolution, to derive an error estimate for noisy data, and to overcome the problem of local minima that usually appears in optimization-based approaches for inverse coefficient problems.

研究の動機と目的

• 最適化に基づく逆係数問題における局所的極小値の問題に対処すること。
• 有限回の測定を伴う逆楕円型係数問題を、グローバルに収束する凸再定式化で提示すること。
• 所望の分解能を達成するために必要な測定回数の明示的基準を導出すること。
• ノイズを含む測定値に対する誤差推定を逆係数問題において確立すること。
• 半定値計画法と逆係数問題を結びつけ、新たな理論的・計算的枠組みを提供すること。

提案手法

• 係数ベクトルから対称行列への写像を定める行列値関数 F を用いて、逆ロビン伝達問題を有限次元の逆問題として定式化する。
• ノイマン＝ディリクレ作用素 Λ(γ) のフレシェ微分可能性、凸性、単調性を活用し、F が所定の性質を満たすことを保証する。
• ローレンダー順序に基づく十分条件を確立する：すべての j,k に対して F′(zj,k)dj ≺ 0 が成り立つならば、逆問題は凸最適化により一意に解ける。
• 逆問題を、係数ベクトルの ℓ¹-ノルムを最小化する凸半定値計画問題に再定式化する。制約は F(γ) ⪯ Y である。
• 方向微分のスペクトルノルムおよび固有値解析を用いて、安定性および誤差バインディングを導出する。
• 測定回数を段階的に増加させながら、方向微分に関する条件を満たすまで基準を繰り返し適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限回の測定を伴う非凸な逆楕円型係数問題を、凸最適化問題に再定式化できるか？
• RQ2 所望の分解能で係数を一意に再構成するために必要な最小測定回数は何か？
• RQ3 提案手法は、従来の最適化に基づくアプローチで一般的に見られる局所的極小値の問題を回避できるか？
• RQ4 ノイズを含む測定値に対する誤差推定は、どのように逆係数問題において導出可能か？
• RQ5 ローレンダー順序および単調性は、逆問題の凸再定式化を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• 有限回の測定を伴う逆ロビン伝達問題は、一意に解ける凸非線形半定値計画問題に同値に再定式化可能である。
• 前方作用素の方向微分に基づく十分条件が導出され、これは有限個の前方解の計算により数値的に検証可能である。
• 測定回数は、基準を満たすまで m を段階的に増加させることで構成的に決定可能である。
• ノイズを含む測定値 Yδ に対して ∥Ŷ − Yδ∥₂ ≤ δ が成り立つ場合、再構成誤差は ∥γ̂ − γδ∥∞ ≤ 2δ(n−1)/λ で有界であり、ここで λ > 0 は方向微分の最大固有値の最小値である。
• 再定式化問題の凸性により局所的極小値を回避でき、特別に設計された測定を必要としない。
• 本フレームワークは、半定値計画法と逆係数問題の間で初めて明示的な接続を提供し、グローバル収束性および安定性解析の新たな道を開く。