[論文レビュー] Solving bivariate systems: Efficient worst-case algorithm for computing Rational Univariate Representations and applications

Yacine Bouzidi, Sylvain Lazard+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2013

Coding theory and cryptography被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、最悪ケースのビット複雑度 $σ\text{O}(d^7 + d^6 \alpha)$ を有する、2変数多項式系の有理一変数表現（RUR）を計算する効率的なアルゴリズムを提示する。従来の手法よりも改善され、係数のビットサイズの上限を厳密に抑え、RURを用いてすべての実数解における多項式の符号を高速に評価可能である。

ABSTRACT

We address the problem of solving systems of two bivariate polynomials of total degree at most $d$ with integer coefficients of maximum bitsize $ au$. It is known that a linear separating form, that is a linear combination of the variables that takes different values at distinct solutions of the system, can be computed in $\sOB(d^{8}+d^7 au)$ bit operations (where $O_B$ refers to bit complexities and $\sO$ to complexities where polylogarithmic factors are omitted) and we focus here on the computation of a Rational Univariate Representation (RUR) given a linear separating form. We present an algorithm for computing a RUR with worst-case bit complexity in $\sOB(d^7+d^6 au)$ and bound the bitsize of its coefficients by $\sO(d^2+d au)$. We show in addition that isolating boxes of the solutions of the system can be computed from the RUR with $\sOB(d^{8}+d^7 au)$ bit operations. Finally, we show how a RUR can be used to evaluate the sign of a bivariate polynomial (of degree at most $d$ and bitsize at most $ au$) at one real solution of the system in $\sOB(d^{8}+d^7 au)$ bit operations and at all the $\Theta(d^2)$ {real} solutions in only $O(d)$ times that for one solution.

研究の動機と目的

• 2変数多項式系の有理一変数表現（RUR）を計算する最悪ケース効率の良いアルゴリズムの開発。
• 既存手法と比較して、特に既知の線形分離形式を活用することで、RUR計算のビット複雑度を低減すること。
• RURの各成分の係数ビットサイズを $σ\text{O}(d^2 + d\alpha)$ に制限することで、実用的な効率性を確保すること。
• RURを用いて、すべての実数解のための分離ボックスを高速に計算できること。
• RURを用いて、与えられた2変数多項式がすべての実数解における符号を、一意の多項式の根における評価によって効率的に評価可能であること。

提案手法

• 事前に計算済みの線形分離形式を活用し、問題を一変数の根の分離および有理関数の構成に簡略化する。
• 結果式と有理関数補間技術を適用し、係数の成長を制御しながらRURの成分を構築する。
• ビット複雑度の上限を維持するために、Berlekamp–Zassenhaus因数分解戦略の変更版を適用する。
• RURに含まれる一変数多項式に対する根の分離アルゴリズムを適用し、実数解のための分離ボックスを計算する。
• RURを用いて、一様およびすべての実数解における与えられた多項式の符号を、一変数多項式の根における評価により評価する。
• 符号評価を最適化し、RURの構造を再利用することで、1回の評価コストの $O(d)$ 時間で全解における符号評価を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2変数系のRUR計算のビット複雑度を、既存の境界を下回りつつ、係数サイズの制御を維持できるか。
• RQ2 RURからすべての実数解の分離ボックスを計算するために必要な最小のビット複雑度は何か。
• RQ3 RURを用いて2変数系のすべての実数解における多項式の符号をどれほど効率的に評価できるか。
• RQ4 RURの構造を活用することで、1つの解における評価コストの $O(d)$ 時間で、すべての実数解における符号評価を実現できるか。
• RQ5 2変数系のRURの係数に対して、最もタイトなビットサイズの境界は何か。

主な発見

• RURは $σ\text{O}(d^7 + d^6 \alpha)$ ビット演算で計算され、以前の $σ\text{O}(d^8 + d^7 \alpha)$ の境界を改善している。
• RURの係数ビットサイズは $σ\text{O}(d^2 + d\alpha)$ に制限されており、コンactな表現を保証する。
• RURからすべての実数解の分離ボックスを $σ\text{O}(d^8 + d^7 \alpha)$ ビット演算で計算可能である。
• 1つの実数解における2変数多項式の符号評価は $σ\text{O}(d^8 + d^7 \alpha)$ ビット演算で実行可能である。
• 同様の多項式が $Θ(d^2)$ 個の実数解すべてにおける符号評価は、1つの解における評価コストの $O(d)$ 時間で実現可能である。
• RURの構造と線形分離形式の特徴を活用することで、複雑度の向上と実用的効率性の両方を達成している。