[論文レビュー] Solving boolean satisfiability problems with the quantum approximate optimization algorithm

Sami Boulebnane, Ashley Montanaro|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、ランダムk-SAT問題（ハードな制約充足問題のクラス）を解くための量子近似最適化アルゴリズム（QAOA）の性能を分析している。解析的境界と数値シミュレーションを用いて、14層のQAOAが8-SATにおいて、最高の古典的ソルバーであるWalkSATlmと同等の指数的スケーリングを達成し、層数を増やすとそれを上回ることを示しており、固定パラメータを用いた場合、この領域で量子優位性の可能性があることを示唆している。

ABSTRACT

The quantum approximate optimization algorithm (QAOA) is one of the most prominent proposed applications for near-term quantum computing. Here we study the ability of QAOA to solve hard constraint satisfaction problems, as opposed to optimization problems. We focus on the fundamental boolean satisfiability problem, in the form of random $k$-SAT. We develop analytic bounds on the average success probability of QAOA over random boolean formulae at the satisfiability threshold, as the number of variables $n$ goes to infinity. The bounds hold for fixed parameters and when $k$ is a power of 2. We complement these theoretical results with numerical results on the performance of QAOA for small $n$, showing that these match the limiting theoretical bounds closely. We then use these results to compare QAOA with leading classical solvers. In the case of random 8-SAT, we find that for around 14 ansatz layers, QAOA matches the scaling performance of the highest-performance classical solver we tested, WalkSATlm. For larger numbers of layers, QAOA outperforms WalkSATlm, with an ultimate level of advantage that is still to be determined. Our methods provide a framework for analysing the performance of QAOA for hard constraint satisfaction problems and finding further speedups over classical algorithms.

研究の動機と目的

• 定常深さおよび固定変分パラメータにおける、ハードな制約充足問題、特にランダムk-SATに対するQAOAの性能を評価すること。
• 無限大サイズ極限における、ランダムk-SATインスタンス全体にわたるQAOAの平均成功確率を推定するための解析的手法を開発すること。
• 特にWalkSATlmを含む最新の古典的ソルバーと比較して、QAOAのスケーリング行動をベンチマーク化し、潜在的な量子優位性を評価すること。
• 小規模なシミュレーションからの実効的結果と比較することで、解析的手法を検証し、実効的に決定された変分角の最適性を評価すること。

提案手法

• 固定パラメータおよびkが2の累乗である場合に有効な、ランダムk-SATにおけるQAOA平均成功確率の解析的境界を導出する。
• 解析的手法の厳密なアルゴリズム的実装を提案し、十分に小さな変分パラメータに対して正しさが保証され、最大p=10層までの成功確率の効率的評価を可能にする。
• 小さなインスタンス（n=12）における成功確率の平均化という単純な実効的手法を用いて、最適な変分パラメータを推定し、これが解析的予測とよく一致することを示す。
• 解析式に基づく勾配降下法を用いてパラメータを再最適化し、実効的に得られた角度が真の最適解に近いかどうかを評価する。
• QAOAおよび古典的ソルバーの実行時間データに対して指数的フィッティングを施し、スケーリング指数を比較する。相関係数と誤差推定値を用いる。
• 定常深さQAOAにおける成功確率の指数的減衰を正当化するためのライトコーン議論を適用し、量子および古典的アルゴリズムがハードインスタンスで示す挙動と整合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析的手法は、無限大サイズ極限におけるランダムk-SATに対するQAOAの平均成功確率を正確に予測できるか？
• RQ2 固定パラメータを用いたQAOAの性能は、8-SATにおけるWalkSATlmのような古典的ソルバーと比較して、指数的スケーリングの観点でどのように異なるか？
• RQ3 小さなインスタンス（n=12）に対して実効的に決定された変分パラメータは、解析的手法が予測する最適パラメータに近いか？
• RQ4 増加するアンザッツ深さを有するQAOAは、最終的に実行時間スケーリングの観点で、最高の古典的ソルバーを上回るか？
• RQ5 QAOAの成功確率の理論的および実効的挙動は、問題サイズおよび層数の関数としてどのように変化するか？

主な発見

• 8-SATにおいて、14層のアンザッツを有するQAOAは、実行時間スケーリングの観点で、最高の古典的ソルバーであるWalkSATlmと同等の指数的スケーリング指数を達成する。
• 14層を超えると、QAOAはWalkSATlmを上回り、依然として完全に特定されていないが、実行時間スケーリングにおける潜在的な量子優位性を示している。
• 成功確率の推定に用いられる解析的手法は、中程度の層数（最大p=10）に対しても数値シミュレーションと強く一致しており、性能予測に使用可能であることが検証された。
• 小さなインスタンス（n=12）に対して実効的に決定された変分パラメータは、解析的手法が予測する最適パラメータと数パーセントの範囲内で一致しており、実効的トレーニングが非常に効果的であることが示された。
• 再最適化過程における成功確率指数および変分角の相対的変動は小さく（数パーセント）、実効的に得られたパラメータが近似的に最適であることが示唆された。
• Glucose3、Glucose4、MiniSat22といった古典的ソルバーは、ほぼ同等のスケーリング指数（約0.50〜0.53）を示すが、WalkSATlmは最も優れた性能を示し、指数が0.325である。QAOAはこの指数を14層以上で再現し、さらに上回っている。