[論文レビュー] Solving Challenging Large Scale QAPs

Koichi Fujii, Naoki Ito+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Optimization and Packing Problems参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、大規模な二次割り当て問題（QAP）を解くために、ラグランジュ二重非負性（DNN）緩和にニュートン・ブレケット法を用いた並列分枝限定法を提示する。10万コア以上のUbiquity Generator（UG）フレームワークを活用することで、強力な下界を達成し、QAPLIBの未解決例であるtai30aおよびsko42を初めて正確に解いた。

ABSTRACT

We report our progress on the project for solving larger scale quadratic assignment problems (QAPs). Our main approach to solve large scale NP-hard combinatorial optimization problems such as QAPs is a parallel branch-and-bound method efficiently implemented on a powerful computer system using the Ubiquity Generator(UG) framework that can utilize more than 100,000 cores. Lower bounding procedures incorporated in the branch-and-bound method play a crucial role in solving the problems. For a strong lower bounding procedure, we employ the Lagrangian doubly nonnegative (DNN) relaxation and the Newton-bracketing method developed by the authors’ group. In this report, we describe some basic tools used in the project including the lower bounding procedure and branching rules, and present some preliminary numerical results. Our next target problem is QAPs with dimension at least 50, as we have succeeded to solve tai30a and sko42 from QAPLIB for the first time.

研究の動機と目的

• ヒューティックスの進展にもかかわらず、サイズ35を超える大規模なQAPインスタンスを解くこと。
• NP困難なQAPを処理できるスケーラブルな並列分枝限定フレームワークを開発すること。
• ラグランジュ二重非負性（DNN）緩和とニュートン・ブレケット法を用いて下界を向上させること。
• QAPLIBの以前未解決だったインスタンス（例：tai30aおよびsko42）に対して正確な解を得ること。
• UGフレームワークが組合せ最適化における大規模並列処理を可能にする有効性を示すこと。

提案手法

• 10万コア以上を活用するため、Ubiquity Generator（UG）フレームワーク上で並列分枝限定（B&B）法を実装する。
• ニュートン・ブレケット（NB）法を用いたラグランジュDNN緩和により、きつい信頼性の高い下界を生成する。
• 一様性の仮定の下で、B&B木内のノード数を推定するためのサンプリングベースのノード推定技術を適用する。
• ノード数の推定値を比較するため、3つのブランチルール（M：最小コスト、P：置換に基づく、D：双対に基づく）を実装する。
• NB法から得られる双対妥当解を用いて、下界の妥当性を保証する。
• NBによる下界と、上界の計算および pruning 策略を組み合わせることで収束を加速する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BBCPOP や ADMM といった既存のDNNソルバーよりも、ニュートン・ブレケット法が大規模なQAP（n ≥60）に対して下界を著しく改善できるか？
• RQ2 UGを用いた並列B&Bフレームワークが10万コア以上にスケーリング可能で、かつ以前に解けなかったQAPインスタンスを解けるか？
• RQ3 異なるブランチルール（M、P、D）が、大規模なQAPにおけるB&B木内のノード数の推定値にどのように影響を与えるか？
• RQ4 次元が50以上（≥50）のQAPインスタンスを正確法で解く計算上の可能性は何か？
• RQ5 提案手法が、以前未解決だったtai30aおよびsko42に対して正確な解を達成できるか？

主な発見

• ニュートン・ブレケット法は、tai60a や tai80a など、より大きなインスタンス（n ≥60）において、BBCPOP や ADMM よりもきつい下界を生成した。
• 本手法は、QAPLIBのtai30aおよびsko42を初めて正確に解いた。これは、正確なQAP解法分野における顕著な進展を示している。
• tai30aでは、ノード数の推定値が4250万であったが、実際の生成ノード数は3400万にとどまり、推定の高い正確性を示した。
• ブランチルールDが、大多数のケースで最小のノード推定値を示し、より効果的なプルーニングを示唆した。
• サンプリングベースのノード推定法は信頼性の高い予測を提供し、実際のノード数が常に推定値の3倍以内に収束した。
• UGフレームワーク上でのスケーラビリティを示し、10万コアを超える大規模並列処理を実現した。これにより、以前に解けなかったインスタンスの解法が可能になった。