[論文レビュー] Solving delay differential equations via Sumudu transform

Mathew O. Aibinu, Surendra Thakur+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2021

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 38被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、変数係数および複数比例遅れを有するパントグラフ型非線形遅れ微分方程式（DDE）に対する、Sumudu変換法（STM）の新規応用を提示する。変分反復法とSumudu変換を組み合わせることで、正確かつ近似解を効率的に導出する。具体例を通じて、計算複雑性の低減と高い精度が示され、$ e^x $ への収束も確認されている。本手法は線形化や摂動を必要とせず、非線形ボルテラ積分微分方程式に対しても効果的に適用可能である。

ABSTRACT

A technique which is known as Sumudu Transform Method (STM) is studied for the construction of solutions of a most general form of delay differential equations of pantograph type. This is a pioneer study on using the STM to construct the solutions of delay differential equations of pantograph type with variable coefficients. We obtain the exact and approximate solutions of nonlinear problems with multiproportional delays and variable coefficients. The strength of STM is illustrated in reducing the complex computational work as compared to the well-known methods. This paper shows how to succinctly identify the Lagrange multipliers for nonlinear delay differential equations with variable coefficients, using the STM. The potency and suitability of the STM are exhibited by giving expository examples. The solutions of nonlinear Volterra integro-differential equations of pantograph type are also obtained.

研究の動機と目的

• 変数係数を有するパントグラフ型非線形遅れ微分方程式（DDE）を解くための新規アプローチの開発。
• 定数係数DDEに限られる従来の手法を、複数比例遅れを有するより一般的なケースに拡張すること。
• Sumudu変換の性質を活用して、DDEの解法における計算複雑性を低減すること。
• 線形化や摂動を用いない状況でも、STMがラグランジュ乗数の構築と反復解法の構築に有効であることを示すこと。
• $ e^x $ などの正確解への収束を示す具体例を通じて、手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• 変分反復法（VIM）とSumudu変換を組み合わせることで、変数係数を有する非線形DDEを解くためのSumudu変換法（STM）を適用する。
• Sumudu変換を用いて微分方程式を代数方程式に変換し、解法プロセスを簡素化する。
• Sumudu変換を介してラグランジュ乗数を簡潔に特定し、複雑な反復手順を回避する。
• 初期近似 $ y_1(x) = 1 + x $ から出発し、逆Sumudu変換を用いて反復スキームを構築する。
• 高次項は、$ S[y_n^2(x/2)] $ を含む式に逆変換を適用することで反復的に計算し、高次項（HOT）を切り捨てる。
• 本手法は次元を保存し、周波数領域変換の必要性を回避するため、物理的・生物学的モデリングへの応用性が向上する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Sumudu変換法（STM）は、変数係数および複数比例遅れを有するパントグラフ型非線形DDEに効果的に適用可能か？
• RQ2 このような問題に対して、STMは従来の手法と比較して計算複雑性および精度の面で優れているか？
• RQ3 STMは線形化や摂動技法を要せず、ラグランジュ乗数を効率的に特定できるか？
• RQ4 STMを用いた反復解は、非線形DDEにおいてどの程度正確解に収束するか？
• RQ5 STMはパントグラフ型非線形ボルテラ積分微分方程式へも拡張可能か？

主な発見

• 反復解 $ y_n(x) = ∑_{i=0}^{n} \frac{1}{i!}x^i $ は $ n \to \infty $ のとき正確解 $ y(x) = e^x $ に収束し、手法の正確性が裏付けられた。
• 複数比例遅れ $ x/2 $ を有する非線形DDEに対し、正確解 $ e^x $ が効率的に計算可能であり、その項はテイラー級数展開と一致した。
• ラグランジュ乗数は $ \varphi(u) = -u^2 $ として特定され、体系的かつ計算的に効率的な反復スキームの構築が可能となった。
• 古典的手法と比較して、STMは線形化や摂動仮定を不要とすることで、計算作業を顕著に低減した。
• 本手法はパントグラフ型非線形ボルテラ積分微分方程式の正確解および近似解の両方に対して効果的である。
• 図示結果から、近似解と正確解の間で強い一致が確認され、手法の信頼性および収束性が検証された。