[論文レビュー] Solving equations with Hodge theory

Kefeng Liu, Shengmao Zhu|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、コンパクトなカーラー多様体上のホッジ理論を用いたグローバル幾何的アプローチを提示し、局所的変形理論に依存せずに、複素構造の変更における正則な canonical 1-形式の閉形式の拡張公式を導出する。主な貢献は、$L^2$-ホッジ理論の作用素 $(I + T\varphi)^{-1}$ を用いた、変形された多様体上の正則 $(n,0)$-形式の明示的公式である。この方法は、ホッジ bundle や、パンダクレ・ディスク上での $L^2$-ホッジ理論を用いた可測係数を持つベルトラミ方程式の解法への応用を含む。

ABSTRACT

We treat two quite different problems related to changes of complex structures on Kähler manifolds by using global geometric method. First, by using operators from Hodge theory on compact Kähler manifold, we present a closed explicit extension formula for holomorphic canonical forms in different complex structures. As applications, we give a closed explicit formula for certain canonical sections of Hodge bundles on marked and polarized moduli spaces of projective manifolds, and provide a closed explicit extension formula for holomorphic pluricanonical forms under certain natural conditions. Second, by using the operators in $L^2$-Hodge theory on Poincaré disk, we present a simple and unified method to solve the Beltrami equations with measurable coefficients for quasi-conformal maps.

研究の動機と目的

• コンパクトなカーラー多様体上の正則 canonical 1-形式の、コイダラ・スペンサー局所的変形理論に依存しないグローバル幾何的拡張法の開発。
• $L^2$-ホッジ理論作用素を用いた、変形された複素構造上での正則 $(n,0)$-形式の閉形式の明示的公式の導出。
• マークドかつ極化された射影的多様体のモジュライ空間におけるホッジ bundle の標準的セクションの構成へのこの方法の応用。
• パンダクレ・ディスク上での $L^2$-ホッジ理論を用いた、可測係数を持つベルトラミ方程式に対する統一的かつ明示的な解法の提供。
• 一般の $(p,q)$-形式へおよび、パンダクレ型計量を持つ非コンパクトかつ準射影的多様体へ結果を拡張可能な枠組みの確立。

提案手法

• $T = \overline{\partial}^* G \partial$ を用いて、$L^2$-形式上の作用素 $G$ を $\Box_{\overline{\partial}}$ ラプラシアンのグリーン作用素として定義し、変形のノルムを制御する。
• $\rho_\varphi = e^{i_\varphi}$ を収縮作用素として用い、正則 $(n,0)$-形式 $\Omega_0$ の拡張を $\Omega(\varphi) = \rho_\varphi((I + T\varphi)^{-1}\Omega_0)$ で構成する。
• $\|\varphi\|_\infty < 1$ のとき、$I + T\varphi$ の逆行列が保証され、拡張写像が適切に定義される。
• ベルトラミ方程式に対しては、パンダクレ・ディスク上での $L^2$-ホッジ理論を用い、$\overline{\partial}f = \mu \partial f$ を $h = (I + T\mu)^{-1}(-T\mu h_0)$ を含む閉形式解で解く。
• 解は、$\overline{\partial}h = -\partial(\mu h)$ を解き、パンダクレの補題を用いて $h$ から $f$ を回復することで構成される。
• $d$-閉じた $(p,q)$-形式への一般化では、拡張問題を $\partial\sigma = 0$ および $\overline{\partial}\sigma = -\partial(\varphi \lrcorner \sigma)$ を含む系に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、局所的変形理論に依存せずに、カーラー多様体上の正則 canonical 1-形式の変形における閉形式の拡張を構成できるか？
• RQ2 ホッジ理論的作用素 $T = \overline{\partial}^* G \partial$ が拡張写像の存在と可逆性を保証する上で果たす正確な役割は何か？
• RQ3 この方法を、$L^2$-ホッジ理論を用いて、可測係数を持つベルトラミ方程式を統一的かつ明示的に解くために拡張できるか？
• RQ4 拡張公式は、極化多様体のモジュライ空間におけるホッジ bundle の曲率とどのように関係するか？
• RQ5 このアプローチを、$d$-閉じた $(p,q)$-形式および、パンダクレ型計量を持つ非コンパクトカーラー多様体へどの程度まで一般化できるか？

主な発見

• 本稿では、$\|\varphi\|_\infty < 1$ のとき、変形されたカーラー多様体上の正則 $(n,0)$-形式の閉形式拡張公式 $\Omega(\varphi) = \rho_\varphi((I + T\varphi)^{-1}\Omega_0)$ を確立した。
• この公式は明示的に可逆であり、グローバルに定義されており、局所座標やコイダラ・スペンサー・クルアニシの変形理論を必要としない。
• クルアニシ族 $\pi: \mathcal{X} \to \Delta_\varepsilon$ に対して、正則 $(n,0)$-形式は $\Omega(t) = \rho_t((I + T\varphi(t))^{-1}\Omega_0)$ で与えられ、1次近似は $\Omega(t) = \Omega_0 + \sum_{i=1}^m (\eta_i \lrcorner \Omega_0 - T(\eta_i \lrcorner \Omega_0))t_i + O(t^2)$ である。
• この方法により、$d$-閉じた形式のホッジ理論的拡張を通じて、ホッジ数の不変性およびカーラー構造の安定性の直接的証明が可能になった。
• パンダクレ・ディスク上でのベルトラミ方程式 $\overline{\partial}f = \mu \partial f$ に対して、$h = (I + T\mu)^{-1}(-T\mu h_0)$ を用いた閉形式解が構成され、$\mu$ が $C^k$ で $\|\mu\|_\infty < 1$ のとき、$f$ は $C^{k+1}$ 解である。
• この枠組みは、パンダクレ型計量を持つ完全なカーラー多様体上での $L^2$-ホッジ理論へ一般化され、穴あきリーマン面のテイヒミュラー空間およびトーリ空間上の正則1-形式の明示的拡張公式が得られた。