[論文レビュー] Solving fuzzy two-point boundary value problem using fuzzy Laplace transform

Latif Ahmad, Muhammad Shoaib Farooq+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2014

Fuzzy Systems and Optimization参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般化されたHukuhara微分の下で、ファジィラプラス変換（FLT）を用いたファジィ二点境界値問題（FBVPs）を解くための新しい解析的手法を提案する。FLTを用いてファジィ微分方程式を代数的系に変換し、その後境界条件を適用して未知定数を消去することで、シュレーディンガー方程式および同次FBVPsの正確な解が導かれる。これにより、FLTがファジィ境界値問題に対する新たな有効なツールであることが示された。

ABSTRACT

A natural way to model dynamic systems under uncertainty is to use fuzzy boundary value problems (FBVPs) and related uncertain systems. In this paper we use fuzzy Laplace transform to find the solution of two-point boundary value under generalized Hukuhara differentiability. We illustrate the method for the solution of the well known two-point boundary value problem Schrodinger equation, and homogeneous boundary value problem. Consequently, we investigate the solutions of FBVPs under as a new application of fuzzy Laplace transform.

研究の動機と目的

• 不確実性下でのファジィ二点境界値問題（FBVPs）を解くための新しい解析的手法の開発。
• ファジィラプラス変換（FLT）の応用を初期値問題にとどまらず境界値問題へと拡張すること。
• 一般化されたHukuhara微分の下で、2階ファジィ微分方程式とファジィ境界条件を有する問題に対して、FLTの実行可能性と正確性を検証すること。
• 一般化されたHukuhara微分の下で、シュレーディンガー方程式および同次FBVPsに対してFLTを用いて正確な解を提供すること。
• 高階のFBVPsへと拡張可能なフレームワークを確立すること。

提案手法

• ファジィ微分方程式にファジィラプラス変換（FLT）を適用し、ラプラス領域における代数方程式に変換する。
• ファジィ数の下位関数と上位関数を用いて、パラメトリック形式で解を導出する。ここで、$\underline{u}(r)$ と $\overline{u}(r)$ で表される。
• 変換後に境界条件を適用し、未知定数を消去する。変換された解における定数を、ファジィ境界値を用いて解く。
• 逆ファジィラプラス変換を適用して、時間領域における解析的解（ファジィ値関数）を導出する。
• 2つの例（シュレーディンガー方程式と、ファジィ境界条件を有する2階同次FBVP）を用いて、手法の妥当性を検証する。
• 下位関数と上位関数を別々に変換方程式を解くことで解を構築し、一般化されたH微分可能性と整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファジィラプラス変換は、2階ファジィ二点境界値問題に有効に適用可能か？
• RQ2 一般化されたHukuhara微分の下で、FLTによって得られた解は、古典的解と比較して有効性および構造的観点でどのように異なるか？
• RQ3 上位関数と下位関数が単調でない場合に、ファジィ解が有効なレベル集合のまま保たれる条件は何か？
• RQ4 FLTを用いて、ファジィ境界条件を有するファジィシュレーディンガー方程式の解析的解を導出可能か？
• RQ5 FLTに基づく手法は、高階のファジィ境界値問題へと拡張可能か？

主な発見

• ファジィラプラス変換は、ファジィ境界条件を有するファジィシュレーディンガー方程式を正確に解き、パラメトリック形式での完全な解析的解を導出した。
• 同次FBVP $x''(t) - 3x'(t) + 2x(t) = 0$ に対して、ファジィ解の下位関数および上位関数の両方について正確な解が得られた。
• 境界条件は変換後に適用され、与えられたファジィ境界値と整合するように定数が決定された。
• 上位関数と下位関数が所定の単調性条件を満たす限り、ファジィ解が有効なレベル集合のまま保たれることが保証された。
• 同次問題の導出された解は、クリップス解が上位関数と下位関数の間にあることを示しており、本手法の信頼性を裏付けた。
• 著者らの結論で示唆されているように、本手法は $n$ 階のFBVPへと拡張可能である。