[論文レビュー] Solving High-Order Portfolios via Successive Convex Approximation Algorithms

Rui Zhou, Daniel P. Palomar|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2020

Risk and Portfolio Optimization参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、歪度と尖度を含む高次のポートフォリオ最適化問題を、非凸性と高次のモーメントに起因する計算コストの問題を克服するために、逐次凸近似（SCA）に基づくアルゴリズムフレームワークを提案する。この手法は反復的に凸部分問題を構築することで、低い計算複雑性で局所最適解に収束することを保証し、高次元ポートフォリオにおけるスケーラブルな解決を可能にする。

ABSTRACT

The first moment and second central moments of the portfolio return, a.k.a. mean and variance, have been widely employed to assess the expected profit and risk of the portfolio. Investors pursue higher mean and lower variance when designing the portfolios. The two moments can well describe the distribution of the portfolio return when it follows the Gaussian distribution. However, the real world distribution of assets return is usually asymmetric and heavy-tailed, which is far from being a Gaussian distribution. The asymmetry and the heavy-tailedness are characterized by the third and fourth central moments, i.e., skewness and kurtosis, respectively. Higher skewness and lower kurtosis are preferred to reduce the probability of extreme losses. However, incorporating high-order moments in the portfolio design is very difficult due to their non-convexity and rapidly increasing computational cost with the dimension. In this paper, we propose a very efficient and convergence-provable algorithm framework based on the successive convex approximation (SCA) algorithm to solve high-order portfolios. The efficiency of the proposed algorithm framework is demonstrated by the numerical experiments.

研究の動機と目的

• 歪度と尖度を有する現実の資産リターン分布をうまく捉えられない平均・分散フレームワークの限界を解決する。
• 歪度と尖度（3次および4次モーメント）に起因する非凸性により生じる高次ポートフォリオ最適化の計算不能性を克服する。
• 高次元ポートフォリオ最適化に適したスケーラブルで収束性があり、効率的なアルゴリズムフレームワークを開発する。
• メタヒューリスティクスやDCベースの手法に代わる高速で勾配互換性を持つSCAアプローチを用いることで、平均・分散・歪度・尖度（MVSK）フレームワークの実用的応用を可能にする。

提案手法

• ポートフォリオリターンの3次および4次中心モーメントを含む非凸最適化問題として、高次ポートフォリオ問題を定式化する。
• 非凸目的関数を反復的に凸部分問題に近似するため、逐次凸近似（SCA）フレームワークを適用する。
• 非凸項の1次テイラー展開を用いて凸近似を構築し、各部分問題が強く凸であり、標準的なソルバーで解けることを保証する。
• 歪度および尖度関数の勾配およびヘッセ行列の閉形式表現を導出することで、計算の効率化を実現する。
• 適切な条件下でSCAアルゴリズムの理論的保証を活用し、局所最適解への収束を保証する。
• 既存の効率的な凸最適化ソルバーとSCAフレームワークを統合することで、高次元スケーラビリティを実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 歪度と尖度を含む高次ポートフォリオ最適化問題を解く収束性があり、効率的なアルゴリズムを設計することは可能か？
• RQ2 高次モーメントの非凸性は、どのように効果的に処理できるか？ これにより、スケーラブルなポートフォリオ最適化が可能になるか？
• RQ3 提案されたSCAベースのフレームワークの計算複雑性と収束特性は、高次元設定下でどのように振る舞うか？
• RQ4 既存のメタヒューリスティクスやDCベースの手法と比較して、提案アルゴリズムの性能と収束速度はどの程度優れているか？
• RQ5 SCAフレームワークは、高次ポートフォリオ問題の他の定式化にもどの程度一般化可能か？

主な発見

• 提案されたSCAベースのアルゴリズムフレームワークは、非凸な高次ポートフォリオ問題の局所最適解に収束することを保証し、理論的信頼性を有する。
• 微分進化や遺伝的アルゴリズムなどのメタヒューリスティクス的手法と比較して、著しく高速な収束と低い計算コストを達成する。
• 計算が効率的かつスケーラブルであるため、従来の勾配ベース手法が複雑さのため失敗する高次元ポートフォリオ問題に適している。
• 理論的分析により、ヘッセ行列の固有値半径が有界であることが確認され、与えられた制約下でSCA反復の収束を支持する。
• 数値実験により、ポートフォリオ構築における平均、分散、歪度、尖度の望ましいトレードオフを達成する有効性が示された。
• フレームワークは、チルティングベースや制約付き最適化問題を含む、さまざまなMVSKポートフォリオ定式化に適用可能であり、実用的な多様性を高めている。