[論文レビュー] Solving Kepler's equation CORDIC-like

M. Zechmeister|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2018

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ひとこと要約

本稿では、楕円軌道および放物軌道に対して、実行時における超越関数の呼び出しを回避する、CORDICに類似したアルゴリズムを提示する。事前に計算された角度ステップを用いて反復的に離心近点角を調整し、符号に基づく方向制御を行うことで、単精度で29反復、倍精度で55反復で高い精度を達成し、ニュートン・ラプソン法の代替として、ハードウェアにやさしく、数値的に安定した手法を提供する。

ABSTRACT

Context. Many algorithms to solve Kepler's equations require the evaluation of trigonometric or root functions. Aims. We present an algorithm to compute the eccentric anomaly and even its cosine and sine terms without usage of other transcendental functions at run-time. With slight modifications it is applicable for the hyperbolic case, too. Methods. Based on the idea of CORDIC, it requires only additions and multiplications and a short table. The table is independent of eccentricity and can be hardcoded. Its length depends on the desired precision. Results. The code is short. The convergence is linear for all mean anomalies and eccentricities e (including e = 1). As a stand-alone algorithm, single and double precision is obtained with 29 and 55 iterations, respectively. One half or two third of the iterations can be saved in combination with Newton's or Halley's method at the cost of one division.

研究の動機と目的

• 実行時に正弦関数、余弦関数、その他の超越関数を評価しないケプラー方程式の解法を開発すること。
• CORDICアルゴリズムの反復的回転原理を、特に $ E - e\sin E = M $ の形をとる非線形構造を持つケプラー方程式に適応すること。
• すべての離心率、特に $ e = 1 $（径方向軌道）を含む範囲で有効な、数値的に安定した高精度の解法を提供すること。
• 離心率に依存しない固定で小さなルックアップテーブルを用いることで、最小限の演算回数と反復ごとの計算量を実現し、効率的なハードウェア実装を可能にすること。
• ニュートン・ラプソン法やハレー法などの高次反復解法のための堅牢な初期推定値を提供し、全体の反復回数を削減すること。

提案手法

• アルゴリズムは、事前に計算された基底角度 $ \alpha_n = \pi / 2^n $ を用いた反復的加算を用い、初期値 $ E_0 = 0 $ から開始する。
• 各ステップで、現在の $ M_n = E_n - e\sin E_n $ と目標の平均近点角 $ M $ を比較し、回転方向（$ \sigma_{n+1} = \pm 1 $）を決定する。
• 直接的な正弦・余弦関数の評価を回避するため、小角度近似を用いた三角関数加法定理を用いて、$ \sin E $ と $ \cos E $ を同時に計算する。
• 回転論理を変更し、双曲線関数を類似させることで、双曲線的ケースへの拡張を実現する。
• 効率性を向上させるために、CORDICの結果を初期推定値として用い、ニュートン法やハリー法と組み合わせることで、総反復回数を最大で三分の二まで削減できる。
• 角度およびその三角関数値のテーブルは事前に計算され、ハードコードされており、離心率に依存せず、組み込みシステムに適している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超越関数 $ e\sin E $ を含むケプラー方程式を、実行時に正弦関数や余弦関数を呼び出さずに、CORDICアルゴリズムを適応して解くことは可能か？
• RQ2 離心率の全範囲、特に $ e = 1 $ の場合においても、CORDICに類似した手法の収束特性と精度をどのように維持できるか？
• RQ3 小角度における切り捨てられたテイラー展開を用いて、$ \sin E $ と $ \cos E $ を同時に計算することはどの程度可能か、精度を保持できるか？
• RQ4 この手法が、ニュートン・ラプソン法やハリー法などの高次反復解法の有効な初期推定値として機能し得るか、全体の計算コストを削減できるか？
• RQ5 この手法は、混合された楕円軌道と放物軌道を含む、普遍ケプラー方程式へも拡張可能か？

主な発見

• アルゴリズムは、すべての平均近点角および離心率において線形収束を示し、単精度で29反復、倍精度で55反復で精度を達成する。
• $ e = 1 $ かつ $ M = 0 $ の場合、倍精度の精度は約 $ 10^{-15} \sqrt{\frac{2}{1-e}} $ に制限され、径方向軌道の特異点を反映している。
• 実行時に超越関数を一切呼び出さずに、加法、乗法、および事前に計算されたテーブルのみに依存して、$ E $、$ \sin E $、$ \cos E $ を同時に計算可能である。
• CORDICの結果を初期推定値として用いることで、ニュートン法やハリー法は反復回数を最大で三分の二まで削減でき、追加で1回の除算のみを必要とする。
• アルゴリズムは楕円軌道および放物軌道の両方に対応し、$ e = 1 $ の場合を極限ケースとして扱い、数値的に安定している。
• 反復ごとの計算量が少なく、構造が予測可能であるため、FPGAなどのハードウェア実装に非常に適している。