[論文レビュー] Solving Linear Systems of Equations by Gaussian Elimination Method Using Grover's Search Algorithm: An IBM Quantum Experience

Karthik Srinivasan, Bikash K. Behera+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、グローバーの探索アルゴリズムを用いてガウスの消去法を実装する、新しい量子的手法を提示する。基本的な行変形をグローバーのオракルから導出されたユニタリ変換として符号化することで、小規模な線形方程式系の解法において量子的高速化を達成する。具体的な例を通じて、IBM Quantum Experience プラットフォーム上での実装が示されている。

ABSTRACT

Quantum algorithm plays a notable role in solving linear systems of equations with an exponential speedup over the classical algorithm. Here we demonstrate Gaussian elimination method for solving system of equations by using the well known Grover's quantum search algorithm. The elimination method mainly involves elementary row operations which can be performed by applying particular matrices that can be obtained from Grover's algorithm. We explicitly illustrate the whole process by taking a simple example consisting of a set of equations.

研究の動機と目的

• グローバーの量子探索アルゴリズムと古典的ガウスの消去法を組み合わせ、線形方程式系の解法に応用する方法を検討すること。
• ガウスの消去法における基本的な行変形が、グローバーのアルゴリズムから導出された量子回路によってどのように実装できるかを示すこと。
• 実際の量子計算プラットフォーム上での具体的な例を通じて、このハイブリッド量子-古典的手法の実現可能性を検証すること。
• 利用可能な量子ハードウェアを用いて、線形方程式を解くための量子アルゴリズム的手法を教育的・概念的に説明すること。

提案手法

• 各基本的な行変形をユニタリ変換として表現することで、ガウスの消去法を量子回路にマッピングする。
• 消去プロセス中のピボット要素の特定と適用に、グローバーの探索アルゴリズムを用いる。
• グローバーのアルゴリズムにおけるオーキュレートは、特定の基準に基づいてターゲット行（ピボット）をマークすることで、行変形の選択的適用を可能にする。
• 行の入れ替え、スケーリング、行の加算に対応するユニタリ行列を、量子ゲートを用いて構築し実装する。
• アルゴリズムはシミュレーションおよび IBM Quantum Experience プラットフォーム上で実行され、正しさと性能が検証された。
• 状態準備から解の抽出までの一連のワークフローを示すために、2×2 の線形方程式系をテストケースとして用いた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバーの量子探索アルゴリズムは、ガウスの消去法におけるピボット選択ステップに効果的に適用可能か？
• RQ2 ガウスの消去法における基本的な行変形は、グローバーのフレームワークを用いてどのように量子操作として符号化できるか？
• RQ3 グローバーに基づく技術を用いて、近い将来の量子ハードウェア上でガウスの消去法を実装する可能性はどの程度か？
• RQ4 このハイブリッド手法を用いて小規模な線形方程式系を解くために必要な量子回路リソースは何か？

主な発見

• 提案手法は、ピボット選択にグローバーの探索を用いることで、ガウスの消去法の手順を量子回路に成功してマッピングした。
• 基本的な行変形は、グローバーのオーキュレートから導出されたユニタリ変換として実装され、消去プロセスにおける量子的制御を可能にした。
• 2×2 の線形方程式系を用いて IBM Quantum Experience 上で実証され、量子回路設計の正しさが確認された。
• グローバーのアルゴリズムを探索集約的ステップに活用することで、線形方程式の解法における概念的量子的高速化の道筋を示した。
• 実装は、ノイズの多い中規模量子（NISQ）デバイス上で線形代数問題を解くためのハイブリッド量子-古典的アルゴリズムの可能性を浮き彫りにした。