[論文レビュー] Solving maximum cut problems by simulated annealing

Tor G. J. Myklebust|arXiv (Cornell University)|May 9, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 8被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、ジョンソンら（1989）の古典的定式化を用いて、最大カット問題に対するシンプルで効率的なシミュレーテッドアニーリングの実装を提示する。最小限のチューニングでも、89個の標準的インスタンスのうち40個で既存のヒューリスティクスを上回り、デフォルト設定で1回の実行で数分以内に、これまでに知られていたものよりも優れた解を得た。

ABSTRACT

This paper gives a straightforward implementation of simulated annealing for solving maximum cut problems and compares its performance to that of some existing heuristic solvers. The formulation used is classical, dating to a 1989 paper of Johnson, Aragon, McGeoch, and Schevon. This implementation uses no structure peculiar to the maximum cut problem, but its low per-iteration cost allows it to find better solutions than were previously known for 40 of the 89 standard maximum cut instances tested within a few minutes of computation.

研究の動機と目的

• 最大カット問題に対する基本的なシミュレーテッドアニーリング実装の性能を、既存のヒューリスティックソルバーと比較すること。
• シンプルで古典的なメタヒューリスティクスが、標準的なベンチマークインスタンスにおいて、より複雑な現代のアプローチを上回ることができるかどうかを評価すること。
• 広く使われているテストインスタンス上で最小限の実装をテストすることにより、将来的な計算研究のベースラインを確立すること。
• 冷却スケジュールのパラメータとランダムシードの変動が解の品質に与える影響を調査すること。

提案手法

• アルゴリズムは、目的関数の劣化に基づく指数関数的受容確率と固定された冷却スケジュールを用いる標準的なシミュレーテッドアニーリングフレームワークに従う。
• 解は、頂点を2つの岸に割り当てる形で表現され、ベクトル内の±1の値として符号化される。
• 頂点の割り当てを反転させた際の目的関数の変化は、各頂点の接続辺の寄与度を追跡することでO(1)時間で計算される。
• 頂点の反転には定数時間更新が、近隣の寄与度には線形時間更新が用いられ、高頻度のイテレーションが可能になる。
• 冷却スケジュールは、グラフサイズや重み分布に依存せず、固定されたheatmax = 10,000とステップサイズ2e-6を用いる。
• コードはC++で実装されており、標準的なグラフ形式で入力を処理でき、最大33,333個の頂点をサポートする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプルで最適化されていないシミュレーテッドアニーリング実装は、標準的な最大カットベンチマークにおいて、最先端のヒューリスティクスソルバーを上回ることができるか？
• RQ2 この基本的なシミュレーテッドアニーリングアプローチの性能は、さまざまなグラフインスタンスにおいて、Scatter Search、CirCut、およびVNSPRとPath Relinkingを組み合わせた手法と比べてどうか？
• RQ3 デフォルトのパrameter設定と1つのランダムシードのみを用いて、これまでに知られていた最良の解を上回る結果を得られる程度はどの程度か？
• RQ4 冷却スケジュールをチューニングするか、ランダムシードを変更することで、特定のインスタンスにおいて解の品質が顕著に向上するか？

主な発見

• シミュレーテッドアニーリング実装は、89個の標準的最大カットインスタンスのうち40個で、これまでに知られていた最良の結果を上回る解を得た。
• これらの89インスタンスのうち36個では、CirCut、VNSPR、またはScatter Searchが比較で得たあらゆる解よりも優れた解が得られた。
• 10分未満の間に約5×10^9個の妥当な解を探索しており、他の手法に比べて解の探索レートが顕著に優れていた。
• heatmax = 40,000およびステップサイズ = 5e-6といったわずかなパrameterの変更により、インスタンスg35で76,850の解が得られ、他のすべてのヒューリスティクスを上回った。
• 固定されたランダムシード（例：srand(3)）を用いることで、インスタンスtoursg3-8でCirCutの最良結果と同一の解が得られ、ランダム性が結果に与える影響が明確になった。
• 結果から、十分な探索時間があれば、シミュレーテッドアニーリングのようなシンプルで古典的なメタヒューリスティクスが、現代的で複雑なヒューリスティクスと競争力を持ち続ける可能性があることが示唆された。