[論文レビュー] Solving (most) of a set of quadratic equalities: Composite optimization for robust phase retrieval

John C. Duchi, Feng Ruan|arXiv (Cornell University)|May 5, 2017

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 41被引用数 28

ひとこと要約

この論文は、敵対的測定ノイズによる汚染に対処するための、prox-linearアルゴリズムに基づく合成最適化フレームワークを提案する。非凸的で非滑らかな $\ell_1$-損失目的関数を、凸関数 $h$ と滑らかな関数 $c$ を用いて $f(x) = h(c(x))$ の形に定式化することで、$m/n \geq 2$ の測定数のもとで、調整なしに最小限の測定ベクトルの仮定のもとで、実数値信号の高確率回復を達成する。

ABSTRACT

We develop procedures, based on minimization of the composition $f(x) = h(c(x))$ of a convex function $h$ and smooth function $c$, for solving random collections of quadratic equalities, applying our methodology to phase retrieval problems. We show that the prox-linear algorithm we develop can solve phase retrieval problems---even with adversarially faulty measurements---with high probability as soon as the number of measurements $m$ is a constant factor larger than the dimension $n$ of the signal to be recovered. The algorithm requires essentially no tuning---it consists of solving a sequence of convex problems---and it is implementable without any particular assumptions on the measurements taken. We provide substantial experiments investigating our methods, indicating the practical effectiveness of the procedures and showing that they succeed with high probability as soon as $m / n \ge 2$ when the signal is real-valued.

研究の動機と目的

• センサの制限により正確な等式制約が実現不可能な状況において、測定が破損またはノイズを含む場合のロバスト位相再構成の課題に対処すること。
• 位相再構成に生じる大規模な二次等式系を解くための、計算効率的で調整フリーの手法を開発すること。
• $\ell_1$-損失定式化の非凸性および非滑らかさを、$f(x) = h(c(x))$ の合成構造を活用することで克服すること。
• 敵対的測定障害が存在する場合でも、真の信号 $x_\star$ の高確率回復を保証する理論的根拠を確立すること。
• 測定ベクトル $a_i$ に制限のない仮定を課さずに実装可能な実用的アルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 測定ノイズに強く、外れ値にロバストな非凸的・非滑らか関数 $f(x) = \frac{1}{m}\| |Ax|^2 - b \|_1$ を最小化することで位相再構成問題を定式化する。
• 問題を合成最適化タスクに再定式化：$f(x) = h(c(x))$ とし、$h(z) = \|z\|_1/m$ を凸関数、$c(x) = [|\langle a_i,x\rangle|^2 - b_i]_{i=1}^m$ を滑らかな関数とする。
• 各反復点で $c(x)$ を線形化することで凸近似を最小化するプロキシマル線形アルゴリズムを適用し、解ける部分問題の系列を生成する。
• 正則化モデルを用いる：$x_{k+1} = \arg\min_{x} \left\{ h(c(x_k) + \nabla c(x_k)^T(x - x_k)) + \frac{1}{2\alpha_k}\|x - x_k\|_2^2 \right\}$。
• 複素数値最適化のためのWirtinger微分法を活用し、$h$ と $\nabla c$ のリプシッツ連続性の仮定の下で収束保証を導出する。
• 濃縮不等式と被覆数の議論を用いて高確率回復を確立し、実信号の場合に $m/n \geq 2$ であればアルゴリズムが成功することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 prox-linear手法に基づく合成最適化フレームワークは、敵対的測定ノイズが存在する位相再構成問題を解けるか？
• RQ2 次元 $n$ の信号 $x_\star$ の高確率回復に必要な最小測定数 $m$ は何か？
• RQ3 $f(x) = h(c(x))$ に対するprox-linearアルゴリズムは、パrameterの調整なしに解に収束するか？
• RQ4 測定ベクトル $a_i$ がランダムであるが、必ずしも等方的または非相関的でない場合、アルゴリズムの性能は如何にか？
• RQ5 一定割合の測定値が破損している場合でも、この手法は安定した回復を達成できるか？

主な発見

• prox-linearアルゴリズムは、$m/n \geq 2$ の条件下で実数値信号の位相再構成において高確率回復を達成し、実験的に実用的効果を示した。
• $m$ が $n$ よりも定数倍大きい段階で、アルゴリズムは高確率で成功する。実信号の場合、その定数倍は約2である。
• アルゴリズムは本質的に調整が不要であり、prox-linear更新により凸部分問題の系列を解くのみに依存する。
• 測度濃縮と被覆数の議論を用いて理論的保証を確立し、アルゴリズムが悪い局所最適解に陥る確率を高確率で回避することを示した。
• 複素数値信号の場合、Wirtinger微分法を用いてフレームワークを拡張でき、敵対的測定障害に対してもロバスト性を維持する。
• 目的関数 $f(x) = \| |Ax|^2 - b \|_1/m$ が、グローバル最小値集合 $X_\star$ からの距離とともに急激に増加することを示し、安定な回復を保証した。