[論文レビュー] Solving nth order fuzzy differential equation by fuzzy Laplace transform

Latif Ahmad, Muhammad Shoaib Farooq+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2014

Fuzzy Systems and Optimization参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、強化一般微分可能性を用いてn階のファジィ初期値問題（FIVP）を解くために、ファジィラプラス変換（FLT）を一般化する。FLTのn階微分定理を導入し、ラプラス逆変換を用いてFIVPの解析的解を可能にする。MATLABを用いて例題を解き、一般微分可能性下での任意の順序のファジィ微分方程式に対するこの手法の有効性を示している。

ABSTRACT

In this paper, we generalize the fuzzy Laplace transformation (FLT) for the nth derivative of a fuzzy-valued function named as nth derivative theorem and under the strongly generalized differentiability concept, we use it in an analytical solution method for the solution of an nth order fuzzy initial value problem (FIVP). This is a simple approach toward the solution of nth order fuzzy initial value problem (FIVP) by the nth generalized (FLT) form, and then we can use it to solve any order of FIVP. The related theorems and properties are proved. The method is illustrated with the help of some examples. We use MATLAB to evaluate the inverse Laplace transform.

研究の動機と目的

• n階のファジィ値関数の微分に一般化されたファジィラプラス変換（FLT）を拡張し、高階のファジィ微分方程式を解くこと。
• 一般微分可能性の概念を用いて、n階ファジィ初期値問題（FIVP）を解く体系的で解析的な手法を確立すること。
• FLTのn階微分定理および関連する性質を証明し、理論的整合性と適用可能性を保証すること。
• MATLABの逆ラプラス変換機能を用いて数値例題を解くことで、この手法の有効性を実証すること。
• 強化一般微分可能性条件下で、任意の順序のFIVPに適用可能な統一的フレームワークを提供すること。

提案手法

• 本稿は、ファジィラプラス変換のn階微分定理を導入し、FLTをファジィ値関数のn階微分を扱えるように拡張する。
• 一般化された後藤微分可能性の概念を用いて、ファジィ関数の微分を定義し、FIVPにおける複数の解の分岐を可能にする。
• n階微分定理を用いて、n階FIVPをラプラス領域における代数方程式に変換する。
• 下位および上位αカットのファジィ関数の解を、変換された代数方程式を解くことで得る。
• 時間領域におけるファジィ解をパラメトリック形式で回復するために、MATLABを用いて逆ラプラス変換を計算する。
• 本手法は、(1)-微分可能性および(2)-微分可能性のケースを区別し、それぞれ異なる代数的形を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファジィラプラス変換は、ファジィ値関数のn階微分を扱えるように一般化可能か？
• RQ2 強化一般微分可能性の概念下で、FLTのn階微分定理をどのように定式化し、証明できるか？
• RQ3 一般化されたFLTを用いて、n階ファジィ初期値問題の解析的解法はどのように構築できるか？
• RQ4 微分可能性タイプ（1-または2-微分可能性）の選択が、FIVPの解構造にどのように影響するか？
• RQ5 提案手法は、一貫性があり体系的なフレームワークとして、任意の順序のFIVPに適用可能か？

主な発見

• 本稿は、ファジィラプラス変換をn階微分に一般化し、ファジィ値関数のための新しいn階微分定理を確立した。
• 本手法により、ラプラス領域における代数方程式に変換することで、n階FIVPの解析的解が可能になる。
• 4階FIVPの解は、三角関数、指数関数、双曲線関数を含むパラメトリック形式 $\underline{y}(t,r)$ および $\overline{y}(t,r)$ で得られる。
• 逆ラプラス変換はMATLABを用いて計算され、複雑なファジィ解の数値的実装の可能性を確認した。
• (1)-および(2)-微分可能性の下では解構造が異なり、それぞれ異なる代数的形が導出された。
• 複数の例題を通じて手法の妥当性を検証し、異なる順序および微分可能性タイプにおいて一貫性と適用可能性を示した。