[論文レビュー] Solving Optical Tomography with Deep Learning

Yuwei Fan, Lexing Ying|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2019

Optical Imaging and Spectroscopy Techniques参考文献 61被引用数 10

ひとこと要約

本論文では、2次元光学トモグラフィーにおける放射移動方程式に従う前方問題と逆問題を解くために畳み込みニューラルネットワーク（CNN）を用いたディープラーニングフレームワークを提案する。摂動解析を活用することで、前方写像を畳み込み演算子として近似し、境界測定値から散乱係数の高精度な再構成を達成している。ノイズ下でも、異なるインクルージョン配置への一般化性能を示している。

ABSTRACT

This paper presents a neural network approach for solving two-dimensional optical tomography (OT) problems based on the radiative transfer equation. The mathematical problem of OT is to recover the optical properties of an object based on the albedo operator that is accessible from boundary measurements. Both the forward map from the optical properties to the albedo operator and the inverse map are high-dimensional and nonlinear. For the circular tomography geometry, a perturbative analysis shows that the forward map can be approximated by a vectorized convolution operator in the angular direction. Motivated by this, we propose effective neural network architectures for the forward and inverse maps based on convolution layers, with weights learned from training datasets. Numerical results demonstrate the efficiency of the proposed neural networks.

研究の動機と目的

• 放射移動方程式に従う光学トモグラフィーの逆問題を解く際の計算的・数値的課題に対処すること。
• 従来の光学トモグラフィーの逆問題ソルバーに内在する不適切な定式化とノイズへの感受性を克服すること。
• 光学的特性と境界測定値の間の高次元かつ非線形な前方写像と逆写像を効率的に近似するデータ駆動型ニューラルネットワークアーキテクチャの開発。
• 一度のネットワーク学習で繰り返しPDEを解くのではなく、前方問題と逆問題の両方の高速推論を可能にすること。
• 訓練時に観測されなかったインクルージョン数とは異なるテストケース（例：訓練時N_e = 2、テスト時N_e = 4）に対しても一般化できるかを検証すること。

提案手法

• 2次元における等方的Heney-Greenstein散乱を伴う放射移動方程式を用い、散乱係数μとアルベド作用素カーネルλの間の写像として光学トモグラフィー問題を定式化する。
• 摂動解析を適用し、線形化された前方写像が角度方向におけるベクトル化された畳み込みとして近似可能であることを示し、CNNベースのアーキテクチャの構築を動機づける。
• PDEの数値解法を用いて生成した合成訓練データを用い、学習可能な重みを持つ畳み込みニューラルネットワーク（CNN）を設計し、前方写像（μ → λ）と逆写像（λ → μ）の両方を近似する。
• 予測されたμと真値μの間のL2誤差を最小化する損失関数を用い、散乱係数と対応するアルベド作用素カーネルのペアデータ上でネットワークをエンドツーエンドに学習する。
• 角度方向に統合された境界測定値をエンコードするマルチチャネル入力表現を採用し、ネットワークが散乱分布の方向的および空間的特徴を学習できるようにする。
• 2段階のトレーニングおよび推論パイプラインを実装する：まずN_e個のインクルージョン（例：N_e = 2）のデータでネットワークを学習し、その後未学習の構成（例：N_e = 4）でテストし、一般化性能を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 放射移動方程式に従う光学トモグラフィーにおける高次元かつ非線形な前方写像と逆写像を、ディープニューラルネットワークが効果的に近似できるか？
• RQ2 前方写像を畳み込み演算子として近似する摂動解析に基づくCNNアーキテクチャは、従来の手法と比較して精度と効率が向上するか？
• RQ3 アルベド作用素カーネルの測定ノイズに対して、学習済みニューラルネットワークはどの程度頑健か？
• RQ4 訓練時に観測されなかったインクルージョン数（例：2ではなく4）を持つテストケースに対しても、学習済みネットワークは一般化できるか？
• RQ5 ニューラルネットワークは、逆問題解法における明示的な正則化項の必要性を回避するほど、暗黙的に正則化を学習できるか？

主な発見

• ノイズがない場合（δ = 0%）、提案されたニューラルネットワークは散乱係数μをほぼ完璧に再構成し、相対L2誤差は約0.001%にまで低下する。
• 5%のノイズレベル下でも、μの主要な特徴は再構成可能であり、相対L2誤差は1.5%未満に保たれる。ぼやけは生じるが、形状の位置と向きは正確に維持される。
• 一般化性能が良好である：2つのインクルージョン（N_e = 2）で学習したネットワークは、4つのインクルージョン（N_e = 4）のケースを正確に再構成でき、逆も同様に成立し、構造的変動に対しても頑健であることが示された。
• 学習後は高速な推論が可能で、繰り返しPDEの解法を必要とせず、1回のパスで予測が可能であり、従来の最適化ベース手法に比べて著しく高速である。
• ノイズ下でも安定性を示し、ノイズレベルが上昇するに従い徐々に再構成品質が低下するが、δ = 5%でも構造的整合性が維持される。
• 前方写像の線形化が角度変数における1次元畳み込みでよく近似されることを数値的に検証し、摂動解析によるネットワークの畳み込み構造の妥当性が裏付けられた。