[論文レビュー] Solving optimal control problems governed by random Navier-Stokes equations using low-rank methods

Peter Benner, Sergey Dolgov+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2017

Tensor decomposition and applications参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、確率的入力を持つ時間依存型ナビエ＝ストークス方程式に支配される最適制御問題を解くために、低ランクテンソルトレイン（TT）法を提案する。この手法は、確率的ガリルキン有限要素法に内在する次元の呪いを回避する。解と線形系を低ランク形式で表現し、低ランクのプリコンディショナを用いた交互反復解法を用いることで、計算複雑性を最大9次元低減しつつ、分布型制御および境界制御の両方において精度を維持する。

ABSTRACT

Many problems in computational science and engineering are simultaneously characterized by the following challenging issues: uncertainty, nonlinearity, nonstationarity and high dimensionality. Existing numerical techniques for such models would typically require considerable computational and storage resources. This is the case, for instance, for an optimization problem governed by time-dependent Navier-Stokes equations with uncertain inputs. In particular, the stochastic Galerkin finite element method often leads to a prohibitively high dimensional saddle-point system with tensor product structure. In this paper, we approximate the solution by the low-rank Tensor Train decomposition, and present a numerically efficient algorithm to solve the optimality equations directly in the low-rank representation. We show that the solution of the vorticity minimization problem with a distributed control admits a representation with ranks that depend modestly on model and discretization parameters even for high Reynolds numbers. For lower Reynolds numbers this is also the case for a boundary control. This opens the way for a reduced-order modeling of the stochastic optimal flow control with a moderate cost at all stages.

研究の動機と目的

• 時間依存的で非線形的かつ確率的なナビエ＝ストークス方程式に支配される最適制御問題の計算的非実行可能性に対処する。
• テンソル構造を持つため、非常に大きなサドルポイント系を生じる確率的ガリルキン有限要素法における次元の呪いを克服する。
• 低ランクテンソル構造を活用することで、標準的なデスクトップハードウェア上でも確率的最適流れ制御の効率的シミュレーションを可能にする。
• フルスケールの行列構築を伴わずに、低ランクテンソルトレイン形式そのもので直接作用する数値的に効率的な反復解法を開発する。
• レイノルズ数、確率的パrameterの次元、制御タイプ（分布型および境界型）の変動に対しても、本手法の頑健性を実証する。

提案手法

• 偏微分方程式制約付き最適化問題を離散化するために、確率的ガリルキン有限要素法（SGFEM）を用い、高次元サドルポイント系を導出する。
• 解と線形作用素を低ランクテンソルトレイン（TT）形式で表現することで、完全なテンソル積構造を圧縮する。
• 解のTT成分を逐次的に解く交替方向最小化アルゴリズムを開発し、サドルポイント構造を保持する。
• TT構造およびナビエ＝ストークス方程式の非線形性に適合した、スシュール補償近似に基づく低ランクプリコンディショナを構築する。
• 各ニュートンステップで最適性系を線形化し、階層的行列圧縮を用いてジャコビ行列を低ランク形式で構築する。
• 非線形性を扱うためにピカール反復を適用し、低ランク構造を維持するためにTTランクを動的に監視および適応させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低ランクテンソル法は、時間依存的ナビエ＝ストークス方程式に支配される確率的最適制御問題の計算コストおよび記憶コストを効果的に低減できるか？
• RQ2 分布型および境界型制御の両設定において、レイノルズ数、確率的次元、時間離散化の変動に伴い、解のTTランクはどのように変化するか？
• RQ3 最適性系のサドルポイント構造は、低ランクフレームワーク内でどの程度保持され、活用可能か？
• RQ4 低ランク反復解法の性能は、標準的なフルランク解法と比較して、精度および効率の点で優れているか？
• RQ5 高次元確率的問題において、計算複雑性を最大9次元低減でき、かつ解の精度を維持できるか？

主な発見

• 渦度最小化問題の解は、高レイノルズ数でもモデルおよび離散化パrameterの変動に伴い僅かに増加する低ランク表現を有する。
• 分布型制御では、最大TTランクが有界であり、CPU時間は確率的パラメータ数に対して劣線形に増加するため、効率的な計算が可能である。
• 境界型制御では、確率的次元の増加に伴いTTランクとCPU時間が飽和し、安定的かつ予測可能な複雑性増加を示す。
• フルランクSGFEMと比較して、計算複雑性を最大9次元低減でき、標準的なデスクトップシステム上でも大規模な確率的最適制御が可能になる。
• ピカール反復回数はほとんどの場合10未満であり、僅かに例外があるにとどまるため、低ランクフレームワーク内での非線形解法の収束性が良好であることが示された。
• 定常境界制御問題では、時間依存系と比較してTTランクと計算時間が著しく低減されており、TT形式における時間積分の回避による利点が確認された。