[論文レビュー] Solving pseudo-differential equations

Nicolás Lerner|ArXiv.org|Apr 22, 2003

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ニレングル・トレーヴェスの条件 (ψ) の下での一階擬微分方程式の可解性を検討し、従来の仮定とは異なり、条件 (ψ) が1階微分の損失を伴う可解性を保証するとは限らないことを示している。一方で、2階微分の損失を伴う可解性は保証される。本研究は、長年の予想を解決し、1階微分の損失に対する反例が $ H^{-1}_{\text{loc}} $ で still 可解であることを示しており、条件 (ψ) が2階微分の損失を伴う可解性を示すことを確認しているが、完全な証明はまだ検証中である。

ABSTRACT

In 1957, Hans Lewy constructed a counterexample showing that very simple and natural differential equations can fail to have local solutions. A geometric interpretation and a generalization of this counterexample were given in 1960 by L.Hörmander. In the early seventies, L.Nirenberg and F.Treves proposed a geometric condition on the principal symbol, the so-called condition $(ψ)$, and provided strong arguments suggesting that it should be equivalent to local solvability. The necessity of condition $(ψ)$ for solvability of pseudo-differential equations was proved by L.Hörmander in 1981. In 1994, it was proved by N.L. that condition $(ψ)$ does not imply solvability with loss of one derivative for pseudo-differential equations, contradicting repeated claims by several authors. However in 1996, N.Dencker proved that these counterexamples were indeed solvable, but with a loss of two derivatives. We shall explore the structure of this phenomenon from both sides: on the one hand, there are first-order pseudo-differential equations satisfying condition $(ψ)$ such that no $L^2_{ ext{loc}}$ solution can be found with some source in $L^2_{ ext{loc}}$. On the other hand, we shall see that, for these examples, there exists a solution in the Sobolev space $H^{-1}_{ ext{loc}}$.

研究の動機と目的

• 条件 (ψ) が一階擬微分作用素の局所的可解性に果たす役割を明確にすること。
• 従来の1階微分の損失に関する主張と、反例におけるそのような推定が成立しないこととの矛盾を解消すること。
• 条件 (ψ) が1階微分の損失を伴う可解性を示すことを確立すること、ただし、以前の誤った1階微分の損失に関する主張とは対照的である。
• 1階微分の可解性に対する反例の構造を分析し、それらが弱いソボレフ空間で可解であることを検証すること。
• デンカーによる1996年の発表が、ニレングル＝トレーヴェス予想の完全な証明を提示したという主張の妥当性を評価すること。

提案手法

• 実部と虚部の主要記号のポisson括弧を用いて、幾何的条件 (ψ) を分析する。
• エネルギー法を用いて、作用素の随伴 $ L^* $ と乗数 $ b(t,x,D_x) $ を含むa priori推定を得る。
• 1階微分の可解性に対する明示的な反例を構成し、$ f \in L^2_{\text{loc}} $ であっても、$ u \in L^2_{\text{loc}} $ となる解 $ Lu = f $ が存在しないことを示す。
• これらの反例が $ H^{-1}_{\text{loc}} $ で still 可解であることを示し、2階微分の損失が最適であることを示唆する。
• 符号の順序が0および1である擬微分作用素の理論を、$ \partial_t b \geq 0 $ などの仮定の下で適用する。
• $ a \leq 0 $、$ b $ が実数、$ r $ が複素数値であるような $ L = D_t + i a(t,x,D_x) b(t,x,D_x) + r(t,x,D_x) $ の形の作用素の構造に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 条件 (ψ) は、一階擬微分作用素に対して、1階微分の損失を伴う局所的可解性を示すか？
• RQ2 条件 (ψ) を満たすが $ L^2_{\text{loc}} $ で可解でない一階擬微分作用素は存在するか？
• RQ3 このような非可解作用素は、$ H^{-1}_{\text{loc}} $ などの弱いソボレフ空間で still 可解であるか？
• RQ4 条件 (ψ) の下での可解性における微分の損失の鋭い値は何か？1階ではなく2階であるか？
• RQ5 条件 (ψ) は、3次元以上の場合のすべての擬微分作用素に対して、2階微分の損失を伴う可解性を示すか？

主な発見

• 従来の主張とは異なり、条件 (ψ) は一階擬微分方程式に対して1階微分の損失を伴う可解性を保証しない。
• $ f \in L^2_{\text{loc}} $ であっても、$ u \in L^2_{\text{loc}} $ となる解 $ Lu = f $ が局所的にも存在しない反例が存在する。
• しかし、このようなすべての反例は $ H^{-1}_{\text{loc}} $ で可解であり、2階微分の損失が十分であることを示唆する。
• 定理2.2は、$ a \leq 0 $、$ b $ が実数、$ \partial_t b \geq 0 $ であるような $ L = D_t + i a b + r $ の形の作用素が、2階微分の損失を伴う局所的可解性を有することを証明する。
• a priori推定 $ \|L^*u\|_{H^0} \gtrsim \|u\|_{H^{-1}} $ が成り立ち、2階微分の損失が確認される。
• デンカーの1996年の結果により、反例が実際に2階微分の損失を伴って可解であることが確認され、以前の矛盾が解消された。