[論文レビュー] Solving quasi-free and quadratic Lindblad master equations for open fermionic and bosonic systems

Thomas Barthel, Yikang Zhang|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2021

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ラダー超作用素（第三量子化）を用いて、開放フェルミオン系およびボソン系における準自由および二次のリンブレート方程式を統一的に取り扱うフレームワークを提示する。共分散行列およびグリーン関数の閉じた運動方程式を導出し、準自由系ではLiouvillianをジョルダン標準形に変換し、定常状態の存在および安定性の基準を確立する。特に、ボソン系ではリャプノフ方程式の解の不安定性により定常状態が存在しない可能性があることが強調されている。

ABSTRACT

The dynamics of Markovian open quantum systems are described by Lindblad master equations. For fermionic and bosonic systems that are quasi-free, i.e., with Hamiltonians that are quadratic in the ladder operators and Lindblad operators that are linear in the ladder operators, we derive the equation of motion for the covariance matrix. This determines the evolution of Gaussian initial states and the steady states, which are also Gaussian. Using ladder super-operators (a.k.a. third quantization), we show how the Liouvillian can be transformed to a many-body Jordan normal form which also reveals the full many-body spectrum. Extending previous work by Prosen and Seligman, we treat fermionic and bosonic systems on equal footing with Majorana operators, shorten and complete some derivations, also address the odd-parity sector for fermions, give a criterion for the existence of bosonic steady states, cover non-diagonalizable Liouvillians also for bosons, and include quadratic systems. In extension of the quasi-free open systems, quadratic open systems comprise additional Hermitian Lindblad operators that are quadratic in the ladder operators. While Gaussian states may then evolve into non-Gaussian states, the Liouvillian can still be transformed to a useful block-triangular form, and the equations of motion for $k$-point Green's functions form a closed hierarchy. Based on this formalism, results on criticality and dissipative phase transitions in such models are discussed in a companion paper [arXiv:2204.05346].

研究の動機と目的

• 二次ハミルトニアンおよび線形または二次の Lindblad 演算子を有するマコビアン開放量子系を解く体系的なアプローチの開発。
• メジャナナ作用素および実構造行列を用いてフェルミオン系とボソン系の取り扱いを統一すること。
• 定常状態の存在および系の安定性の条件を確立すること、特に定常状態が存在しない可能性があるボソン系についての検討。
• プローセンとセリガンマンの先行研究を拡張し、非対角化可能な Liouvillian、奇数パリティのフェルミオン的領域、二次 Lindblad 演算子を含めること。
• 本稿の同行論文で詳細に示されるように、二次的開放系における臨界性および散乱的相転移を研究する基盤を提供すること。

提案手法

• メジャナナ作用素を用いて、フェルミオンおよびボソン系の両方において、実構造行列を用いた共分散行列の運動方程式を導出する。
• ラダー超作用素（第三量子化）を導入し、超フェルミオン数の偶奇性を保つコンactな Liouvillian の表現を可能にする。
• 正規化変換を用いて Liouvillian を多体ジョルダン標準形に変換し、全多体スペクトルを明らかにする。
• 連続リャプノフ方程式を適用して定常状態共分散行列を決定し、シミレクティック固有値を用いて物理的可解性を評価する。
• 二次系では、k点グリーン関数の階層を閉じるためのブロック下三角形形式を用いる。
• リャプノフ方程式の解の物理的可解性（シミレクティック固有値 ≥ 1/2）に基づいて、ボソン系の定常状態存在の基準を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 準自由および二次的開放フェルミオン系およびボソン系が定常状態を持つ条件は何か？
• RQ2 このような系において、Liouvillian 超作用素を体系的に対角化するか、ジョルダン標準形に変換する方法は何か？
• RQ3 これらの開放量子系の安定性および緩和ダイナミクスは、特にボソン系において何によって決定されるか？
• RQ4 二次 Lindblad 演算子の導入が、相関関係の階層構造およびガウス状態の進化可能性に与える影響は何か？
• RQ5 連続リャプノフ方程式は、ボソン系における定常状態の存在および物理的可解性をどのように決定するか？

主な発見

• 準自由系では、Liouvillian を双対基底における三角形形式に変換でき、全多体スペクトルが明らかになり、ダイナミクスの正確な解法が可能になる。
• フェルミオン系は、Liouvillian スペクトルが物理的真空状態の存在を保証するため、常に少なくとも一つの定常状態を持つ。
• ボソン系は、連続リャプノフ方程式の解がシミレクティック固有値が物理的範囲 [1/2, ∞) の外側にある場合、定常状態を欠くことがある。これは Γ∞ = -1/2 の単一モード例で示されている。
• ボソン系における物理的定常状態の存在は、シミレクティック固有値 ≥ 1/2 を満たす正定値解が存在することと同値である。
• 構造行列 X₀ のすべての固有値の実部が非正であれば、準自由ボソン系の安定性は保証される。これはリャプノフ方程式および解の正定値性を用いて証明される。
• 二次系では、k点グリーン関数の階層が閉じており、ガウス性が破れた場合でさえも、非ガウス的ダイナミクスの効率的計算が可能になる。