[論文レビュー] Solving Shift Problems and Hidden Coset Problem Using the Fourier Transform

Lawrence Ip|ArXiv.org|May 7, 2002

Coding theory and cryptography参考文献 5被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、有限体および環 ℤ/nℤ におけるシフトされた乗法的特徴関数問題を、フーリエ変換を用いて解く量子アルゴリズムを提示する。問題は行列因子分解またはデコンボリューションとして定式化される。関数が特定のスペクトル条件を満たす場合、シフトは効率的に回復可能であり、周期性によってシフトが一意でない場合に対処するため、隠し部分群問題を隠しコセット問題に拡張する。

ABSTRACT

We give a quantum algorithm for solving a shifted multiplicative character problem over Z/nZ and finite fields. We show that the algorithm can be interpreted as a matrix factorization or as solving a deconvolution problem and give sufficient conditions for a shift problem to be solved efficiently by our algorithm. We also show that combining the shift problem with the hidden subgroup problem results in a hidden coset problem. This naturally captures the redundancy in the shift due to the periodic structure of multiplicative characters over Z/nZ.

研究の動機と目的

• 有限体および ℤ/nℤ におけるシフトされた乗法的特徴関数問題を解くための量子アルゴリズムを開発すること。
• フーリエ変換を用いてシフト問題を効率的に解ける十分条件を同定すること。
• 隠し部分群問題とシフト問題を統合し、一般化された隠しコセット問題フレームワークに統一すること。
• 解をフーリエドメインにおけるデコンボリューション問題として解釈することで、より広範な適用可能性を実現すること。

提案手法

• 関数 g が群 G 上に定義されているとき、行列 X の各要素が g(x+y) である行列 X を用いて、シフト問題を行列逆行列問題に再定式化する。
• 有限アーベル群上の特徴理論を用い、X = (F^T)^{-1} D F^{-1} と因子分解する。ここで F はフーリエ変換行列、D は対角行列である。
• g のフーリエ変換が一定の大きさを持ち、ゼロ値をとらない場合に限って、量子フーリエ変換を用いて X の逆行列を F D^{-1} F^T として効率的に計算する。
• 有限体および ℤ/nℤ における乗法的特徴関数にこの手法を適用し、必要なスペクトル条件を満たすことを確認する。
• 周期性によってシフトが一意でない場合に備えて、問題を G/H 上の隠し部分群問題に還元し、その後 G/H 上のシフト問題に帰着する。
• 解をフーリエドメインにおけるデコンボリューション問題として解釈し、f = δ_{-s} * g とし、δ_{-s} をフーリエ変換の点乗算による除算で回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 f(x) = g(x+s) の未知のシフト s を、フーリエ変換を用いて効率的に回復できる条件は何か？
• RQ2 乗法的特徴関数に起因する周期的構造によって生じる非一意なシフトに対処するため、隠し部分群問題をどのように拡張できるか？
• RQ3 n が平方因子を持たない場合、ℤ/nℤ 上のシフトされた乗法的特徴関数問題は、加法的周期性によってシフトが一意でない場合に効率的に解けるか？
• RQ4 シフト問題をどの程度までフーリエドメインにおけるデコンボリューション問題として解釈できるか。また、この解釈はアルゴリズム設計にどのように寄与するか？
• RQ5 関数 g に対して、シフト問題が量子多項式時間で解けるために必要な十分条件は何か？

主な発見

• アルゴリズムは、ℤ/pℤ 上のシフトされたレジェンドル記号およびシフトされた二次特徴関数問題、および平方因子を持たない n に対するシフトされたヤコビ記号問題を解ける。van Dam と Hallgren の先行研究を拡張する。
• n が奇数の ℤ/nℤ 上の乗法的特徴関数に対して、アルゴリズムの成功率は (1 - 1/p₁)²⋯(1 - 1/pₖ)² である。ここで pᵢ は n の異なる素因数である。
• 問題を G/H 上の隠し部分群問題に還元し、その後 G/H 上のシフト問題に帰着することで、非一意なシフトに対しても効果的に対処できる。ここで H は安定化部分群である。
• この手法は、フーリエドメインにおけるデコンボリューション問題として解釈され、f = δ_{-s} * g であり、δ_{-s} はフーリエ変換の点乗算による除算で回復される。
• 効率性の十分条件として、|g(x)| = 1（x ≠ 0 のとき）、g(0) = 0、および g のフーリエ変換が一定の大きさを持ち、自明な特徴関数を除きゼロ値をとらないことが挙げられる。
• g が有限体または ℤ/nℤ 上の非自明な乗法的特徴関数である場合、そのフーリエ変換におけるスペクトル特性のおかげで、シフト s の効率的回復が可能となる。