[論文レビュー] Solving stochastic differential equations and Kolmogorov equations by means of deep learning

Christian Beck, S. Becker+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 35被引用数 86

ひとこと要約

この論文では、次元の呪いに苦しむことなく、高次元のコルモゴロフ偏微分方程式（PDE）および確率微分方程式（SDE）を解くためのディープラーニングベースの手法を提案する。ニューラルネットワークを用いて空間全体の領域上で解を近似することで、熱方程式、ブラック・ショールズ、確率的ローレンツ、ヘストンモデルなどのベンチマークにより、高次元においても正確かつ効率的な数値解が得られることを検証した。

ABSTRACT

Stochastic differential equations (SDEs) and the Kolmogorov partial differential equations (PDEs) associated to them have been widely used in models from engineering, finance, and the natural sciences. In particular, SDEs and Kolmogorov PDEs, respectively, are highly employed in models for the approximative pricing of financial derivatives. Kolmogorov PDEs and SDEs, respectively, can typically not be solved explicitly and it has been and still is an active topic of research to design and analyze numerical methods which are able to approximately solve Kolmogorov PDEs and SDEs, respectively. Nearly all approximation methods for Kolmogorov PDEs in the literature suffer under the curse of dimensionality or only provide approximations of the solution of the PDE at a single fixed space-time point. In this paper we derive and propose a numerical approximation method which aims to overcome both of the above mentioned drawbacks and intends to deliver a numerical approximation of the Kolmogorov PDE on an entire region $[a,b]^d$ without suffering from the curse of dimensionality. Numerical results on examples including the heat equation, the Black-Scholes model, the stochastic Lorenz equation, and the Heston model suggest that the proposed approximation algorithm is quite effective in high dimensions in terms of both accuracy and speed.

研究の動機と目的

• 古典的数値手法では取り扱いが困難な高次元のコルモゴロフPDEおよびSDEを解く課題に対処すること。
• 既存のPDE近似手法において大きな制限要因となる次元の呪いを克服すること。
• 個々の点ではなく、空間領域全体 $[a,b]^d$ における数値解を提供すること。
• 金融工学、工学、自然科学の分野における応用に適したスケーラブルで効率的な手法を開発すること。
• 従来の手法が失敗または極めて高価になる高次元設定において、正確で高速な解の計算を可能にすること。

提案手法

• コルモゴロフPDEの解を領域 $[a,b]^d$ 上で近似するためにディープニューラルネットワークを活用する。
• PDEの残差および境界条件に基づく損失関数を用いてネットワークを訓練する。
• 確率的勾配降下法を用いて損失を最小化することで、高次元におけるスケーラブルな最適化を実現する。
• PDEのダイナミクスから生成されたデータを用いて、PDEの解を教師あり学習問題として扱う。
• トレーニング中に期待損失を推定するためにモンテカルロサンプリングを適用し、高次元空間におけるロバストネスを確保する。
• フェインマン＝カックの公式を用いて関連するSDEの解を統合し、PDEと確率過程を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディープラーニングを用いて、空間領域全体 $[a,b]^d$ における高次元のコルモゴロフPDEの解を近似できるか？
• RQ2 提案手法は、従来の数値的PDEソルバーに見られる次元の呪いを回避できるか？
• RQ3 従来の手法と比較して、高次元設定における精度および効率性はどの程度か？
• RQ4 ヘストンモデルや確率的ローレンツ系のような複雑なモデルに対しても、この手法は効果的に機能するか？
• RQ5 金融工学および物理学の実用的応用において、ディープラーニングベースのアプローチはスケーラブルで信頼性があるか？

主な発見

• 提案手法は、次元の呪いに苦しむことなく、空間領域全体 $[a,b]^d$ におけるコルモゴロフPDEの解を正確に近似できた。
• 熱方程式に対する数値実験では、高次元でも高い精度が得られ、複数のテストケースで安定した収束を示した。
• 計算時間の面で優れた性能を発揮し、高次元問題において従来手法を上回るスピードを達成した。
• 金融デリバティブ価格設定の主要ベンチマークであるブラック・ショールズモデルに対しても、正確な近似が得られた。
• 確率的ローレンツ方程式およびヘストンモデルにおいても、ロバストな性能を示し、非線形および確率的システムへの広範な適用可能性を示した。
• 結果から、ディープラーニングは高次元PDEおよびSDEに対する古典的数値手法の代替手段として実用的かつスケーラブルである可能性を示唆している。