[論文レビュー] Solving Stochastic Inverse Problems using Sigma-Algebras on Contour Maps

Troy Butler, D. Estep+4 more|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2014

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、観測量の数がパラメータの数より少ない微分方程式モデルにおける確率的逆問題を解く非侵襲的で測度論的アプローチを提案する。パラメータから目的の量（QoI）への写像に基づく等高線図におけるシグマ代数を活用することで、確率的幾何学と確率的サンプリングを用いて、後方確率測度の収束性・計算可能な近似を構築する。収束性は流体の流れのシミュレーションで確認され、誤差推定値も理論的に保証されている。

ABSTRACT

We compute approximate solutions to inverse problems for determining parameters in differential equation models with stochastic data on output quantities. The formulation of the problem and modeling framework define a solution as a probability measure on the parameter domain for a given $σ-$algebra. In the case where the number of output quantities is less than the number of parameters, the inverse of the map from parameters to data defines a type of generalized contour map. The approximate contour maps define a geometric structure on events in the $σ-$algebra for the parameter domain. We develop and analyze an inherently non-intrusive method of sampling the parameter domain and events in the given $σ-$algebra to approximate the probability measure. We use results from stochastic geometry for point processes to prove convergence of a random sample based approximation method. We define a numerical $σ-$algebra on which we compute probabilities and derive computable estimates for the error in the probability measure. We present numerical results to illustrate the various sources of error for a model of fluid flow past a cylinder.

研究の動機と目的

• 観測された目的の量（QoI）の数がモデルのパラメータ数より少ない場合に生じる不適切な逆問題に対処すること。
• 逆写像からの幾何的構造を活用して、パラメータ領域上の解確率測度を近似する非侵襲的サンプリング手法を開発すること。
• 計算可能なシグマ代数を定義し、後方確率測度の近似に対する計算可能な誤差推定値を導出すること。
• 集合値の逆写像から得られる幾何的情報を、測度論的枠組み内での一般化された等高線図を用いて保持すること。
• 円柱の周りの流れを対象とした数値実験を通じて、手法の収束性と精度を実証すること。

提案手法

• 測度論的枠組み内で確率的逆問題を定式化し、パラメータ領域上での解を、シグマ代数に関して一意な確率測度として定義する。
• 分解定理（Disintegration Theorem）と等高線事象に関するアンサッツを用いて、元のシグマ代数内での解の存在性と一意性を保証する。
• 出力の区間の逆像に基づくパラメータ領域の分割を用いて、後方測度のラドン＝ニコディム微分（密度）の単純関数近似を構築する。
• パラメータ領域における確率的サンプリングを用いて、等高線シグマ代数および元のシグマ代数の近似集合を暗黙的に定義する。
• 確率的幾何学の結果を応用し、弱い正則性仮定のもとで、確率的サンプリングに基づく近似法の収束を証明する。
• 数値的シグマ代数を定義し、真の確率と近似確率の乖離を評価することで、確率測度近似に対する計算可能な誤差推定値を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 観測されたQoIの数がパラメータ数より少ない場合、パラメータ領域上に一意な確率測度をどのように構築できるか？
• RQ2 QoI写像から導かれる一般化された等高線図上のシグマ代数を用いることで、パラメータ空間におけるどの幾何的構造が保持されるか？
• RQ3 解のパラメトリックな仮定がない状況において、非侵襲的サンプリング手法が真の後方測度に収束できるか？
• RQ4 計算的シグマ代数上の確率的サンプリングを用いた後方確率測度近似に対して、どのように厳密な誤差バウンダリーを導出できるか？
• RQ5 幾何的に異なるQoIを複数組み合わせることで、高次元パラメータ空間における後方確率の局在化がどのように向上するか？

主な発見

• 解は等高線シグマ代数上で存在し一意であり、分解定理により、この一意性は元のパラメータシグマ代数へも拡張される。
• 確率的サンプリングを用いた確率測度近似は収束し、確率的幾何学およびルベーグ収束定理を用いてその収束性が証明されている。
• 流体の流れの例では、$Q = Q_1 + Q_2$ における連合出力密度の逆引きにより、15個のパラメータのうち5つについて良好な推定値が得られ、単一QoIの逆引きを上回った。
• $(eta, eta)$ や $(eta, I_0)$ などのパラメータ対の周辺分布は非一様な挙動を示し、感度の高さを示したが、他のほとんどの対は低感度のため、概ね一様であった。
• 理論的解析が示唆するように、幾何的に異なるQoIを組み合わせることで、後方確率が体積が減少する領域へと効果的に局在化された。
• 数値的シグマ代数の構築とボロノイ胞体近似の解析を通じて、確率測度近似の誤差推定値は計算可能であり、導出された。