[論文レビュー] Solving the Discretised Boltzmann Transport Equations using Neural Networks: Applications in Neutron Transport

T. R. F. Phillips, C. E. Heaney+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2023

Model Reduction and Neural Networks被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、AIライブラリを活用してGPUおよびAIハードウェアの加速を可能にする、4次元離散化ボルツマン輸送方程式をNeutron輸送で解くための画期的なAIネイティブなアプローチを提案する。空間-角度マルチグリッド法と新しい畳み込み有限要素法（ConvFEM）および非線形ペトロフ・ガレルキン安定化手法を組み合わせ、上向きスキームと同等の安定で高次精度の解を得るとともに、解像度が向上し、$k_{\text{eff$}}$値も高くなる。

ABSTRACT

In this paper we solve the Boltzmann transport equation using AI libraries. The reason why this is attractive is because it enables one to use the highly optimised software within AI libraries, enabling one to run on different computer architectures and enables one to tap into the vast quantity of community based software that has been developed for AI and ML applications e.g. mixed arithmetic precision or model parallelism. Here we take the first steps towards developing this approach for the Boltzmann transport equation and develop the necessary methods in order to do that effectively. This includes: 1) A space-angle multigrid solution method that can extract the level of parallelism necessary to run efficiently on GPUs or new AI computers. 2) A new Convolutional Finite Element Method (ConvFEM) that greatly simplifies the implementation of high order finite elements (quadratic to quintic, say). 3) A new non-linear Petrov-Galerkin method that introduces dissipation anisotropically.

研究の動機と目的

• AIライブラリを活用して、スケーラブルでハードウェア最適化された方法で高次元ボルツマン輸送方程式を解くこと。
• AIソフトウェアスタックを活用して、GPUおよび新興のAIアクセラレータ上で効率的な並列計算を可能にすること。
• 最初の順序輸送方程式に由来する非対称で正定値の系の数値不安定性を、画期的なペトロフ・ガレルキン法によって解消すること。
• 畳み込み型でステンシル不変な定式化（ConvFEM）を用いて、高次有限要素法の実装を簡素化すること。
• U-netのようなディープラーニングアーキテクチャが、Neutron輸送問題のマルチグリッド解法に適用可能であることを実証すること。

提案手法

• 4次元のサウトゥースト・マルチグリッドサイクルを、U-netニューラルネットワークアーキテクチャを用いて実装し、GPU並列計算に自然にマッピングされる。
• 2次元空間および2次元角度の各次元で2倍の粗化を実施する構造的グリッド粗化法を採用し、標準的な補間および縮小演算子を用いる。
• 固定サイズのフィルタ（例：5×5、7×7）を用いることで、一貫性があり効率的な高次（2次から5次）有限要素離散化を可能にする、新しい畳み込み有限要素法（ConvFEM）を導入する。
• 非線形ペトロフ・ガレルキン法を適用し、非対称で正定値の系に特有の異方的拡산を導入することで、1次輸送方程式に由来する系の解法を安定化する。
• マルチグリッドサイクル中の残差補正プロセスの安定化をさらに図るため、すべてのグリッドレベルでアップウィンドスキームを用いる。
• 解法全体をAIライブラリ内に実装することで、混合精度演算、モデル並列化、ハードウェア移植性を可能にする。

b Octahedron in a sphere, open

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 AIライブラリは、Neutron輸送における高次元ボルツマン輸送方程式を効果的に解くために活用可能か？
• RQ2 U-netベースのマルチグリッドアーキテクチャは、GPU上で4次元空間-角度輸送問題を効率的に解くために適応可能か？
• RQ3 ConvFEMは、フィルタの変動を最小限に抑え、AIベースの実装を簡素化する高次有限要素法を可能にするか？
• RQ4 提案された非線形ペトロフ・ガレルキン法は、標準的なガレルキン法が失敗する高次輸送解法を安定化できるか？
• RQ5 このAIネイティブフレームワークは、グラフニューラルネットワークを用いて3次元問題や非構造格子に拡張可能か？

主な発見

• 提案されたConvFEM法により、固定サイズのフィルタを用いて高次有限要素（2次から5次）を実現でき、従来のFEMと比較してAIフレームワーク内での実装が著しく簡素化された。
• 非線形ペトロフ・ガレルキン法は、中央またはブルーボン・ガレルキンスキームでは収束しない離散化ボルツマン輸送方程式の解法を成功裏に安定化させた。
• 2次ConvFEMフィルタを用いたペトロフ・ガレルキン法による解は、アップウィンドスキームよりも高い$ k_{\text{eff}} $値を示し、精度の向上と人工的拡散の低減を示唆している。
• ペトロフ・ガレルキン法によるスカラーflux解は、アップウィンド解と定性的に類似しているが、解像度が向上し、わずかにピークfluxが低減しており、制御された拡散が実現されている。
• GPUおよびCPU上で安定した収束が達成され、Cerebras 2のようなAIハードウェアを活用することでエクサスケールシステムへのスケーリングが可能である。
• 他のニューラルネットワークソルバを用いて流体や熱伝導方程式と結合することで、マルチフィジックス問題への拡張が可能である。

c $4\times 4$ grid on a triangle face.