[論文レビュー] Solving the Empirical Bayes Normal Means Problem with Correlated Noise

Lei Sun, Matthew Stephens|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2018

Statistical Methods in Clinical Trials参考文献 62被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、相関のあるノイズ下での正規母平均問題に対して、スモールズマン（2010）の関数の直交多項式展開を用いた、新たな経験的ベイズ手法を開発する。ノイズ分布を標準正規分布およびその微分の基底でモデル化することで、事前分布とノイズ分布を同時に推定し、強い相関下でも正確な縮小推定とFDR制御を実現する。シミュレーションでは、標準的なEB手法を上回る性能を示した。

ABSTRACT

The Normal Means problem plays a fundamental role in many areas of modern high-dimensional statistics, both in theory and practice. And the Empirical Bayes (EB) approach to solving this problem has been shown to be highly effective, again both in theory and practice. However, almost all EB treatments of the Normal Means problem assume that the observations are independent. In practice correlations are ubiquitous in real-world applications, and these correlations can grossly distort EB estimates. Here, exploiting theory from Schwartzman (2010), we develop new EB methods for solving the Normal Means problem that take account of unknown correlations among observations. We provide practical software implementations of these methods, and illustrate them in the context of large-scale multiple testing problems and False Discovery Rate (FDR) control. In realistic numerical experiments our methods compare favorably with other commonly-used multiple testing methods.

研究の動機と目的

• 現存する経験的ベイズ手法は観測値が独立であると仮定しているが、現実のデータでは広く相関が存在するため、この制限を克服すること。
• 未知の相関を考慮した理論的かつ実用的な手法を、高次元正規位置問題におけるノイズ項の相関を考慮して開発すること。
• 相関が標準EB推定値を歪める状況下で、後部平均推定の正確性と多重仮説検定における偽発見率（FDR）制御の精度を向上させること。
• Rパッケージ（cashr）を用いた計算的に実行可能な実装を提供し、遺伝学的データや他の高次元設定における実世界応用を可能とすること。

提案手法

• スモールズマン（2010）の表現を用い、相関のある標準正規変数の経験的分布をエルミート多項式およびその微分の級数展開としてモデル化する。
• ノイズベクトルZの交換可能性を仮定し、極限における経験的分布F_pをφ(x)およびその微分φ^{(l-1)}(x)の基底で表し、相関モーメントρ̄^lで重みづけを行う。
• gをスケール混合正規分布（適応的縮小）と仮定し、2段階EB手順により事前分布g(θ)とノイズ分布F_pを同時に推定する。
• 経験的分布関数F_pの基底展開を用い、標準正規分布のCDF Φ(x)からの相関由来の歪みを捉える。
• メーラーの恒等式および2変量正規分布の同時CDFを用いて、F_pの共分散構造を導出し、経験的分布への相関効果の推定を可能にする。
• Rパッケージcashrに実装し、大規模な多重仮説検定問題における相関のあるノイズ下でのスケーラブルな推定と意思決定を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 観測値間の未知の相関が、正規母平均問題における標準的経験的ベイズ推定にどのように歪みをもたらすか？
• RQ2 相関のある標準正規変数の経験的分布は、エルミート関数およびその微分の基底を用いて正確に表現可能か？
• RQ3 縮小推定およびFDR制御における相関由来バイアスを是正するため、事前分布とノイズ分布の同時推定をどのように定式化できるか？
• RQ4 提案手法は、相関のある検定統計量を伴う多重仮説検定状況において、どの程度FDR推定精度と検出力が向上するか？

主な発見

• 平均相関ρ̄^lが非ゼロとなる高次モーメントに対して、相関のある標準正規変数の経験的分布F_pは、標準正規分布のCDF Φ(x)と顕著に乖離する。
• F_pの分散および共分散は、∑ₗ ρ̄^l [φ^{(l-1)}(x)/√l!]² を含む項に支配され、強い相関下でも消えないため、標準EB手法におけるi.i.d.仮定は成立しない。
• シミュレーションにより、強い相関構造下でも、真の事前分布g(θ)を正確に回復できることを示した。
• 大規模な多重仮説検定シミュレーションにおいて、相関のあるノイズ下で標準EB手法およびBenjamini-Hochberg手順に比べ、FDR制御が優れており、統計的検出力も高い。
• Rパッケージcashrにより、実データへの応用が可能であり、遺伝学的データセットに類似した構造を有するデータにおいて、未知の相関構造に対して頑健であることが経験的に示された。