[論文レビュー] Solving the minimum sum coloring problem via binary quadratic programming

Yang Wang, Jin‐Kao Hao+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2013

Scheduling and Timetabling Solutions参考文献 25被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、NP困難な最小和彩色問題（MSCP）を解くために、新たな二値二次計画法（BQP）アプローチを提案する。MSCPをBQPモデルに再定式化し、パスリライアンシング（Path Relinking）アルゴリズムを用いて解く。ベンチマークインスタンスにおいて競争力のある結果を達成しており、多数のインスタンスで特化型MSCPアルゴリズムを同等または上回る性能を示したが、大規模グラフでは計算時間とメモリ制約が顕著に顕在された。

ABSTRACT

In recent years, binary quadratic programming (BQP) has been successively applied to solve several combinatorial optimization problems. We consider in this paper a study of using the BQP model to solve the minimum sum coloring problem (MSCP). For this purpose, we recast the MSCP with a quadratic model which is then solved via a recently proposed Path Relinking (PR) algorithm designed for the general BQP. Based on a set of MSCP benchmark instances, we investigate the performance of this solution approach compared with existing methods.

研究の動機と目的

• 二値二次計画法（BQP）を、NP困難な最小和彩色問題（MSCP）を解く統一フレームワークとして応用することの検討。
• 制約と目的関数の変換にペナルティ関数を用いて、MSCPをBQPモデルに再定式化すること。
• 標準ベンチマークインスタンス上で、BQP-PRアプローチの性能を特化型MSCPアルゴリズムと比較すること。
• 計算時間とメモリ使用量の観点から、BQPに基づく手法のスケーラビリティと限界を分析すること。

提案手法

• MSCPは、頂点uが色kに割り当てられるかを示す二値変数x_ukを用いた整数線形計画法としてまず定式化される。
• 制約違反に対するペナルティ項を組み込むことで、線形モデルをBQP形式に変換する：頂点彩色制約（c1）に対して二次ペナルティを、エッジ制約（c2）に対してペナルティを導入する。
• 一般BQPモデルが要求する最大化形式に適合させるために目的関数を反転させ、合計ペナルティ関数と逆目的関数を統合する。
• 一般BQP用に事前に設計されたパスリライアンシング（PR）アルゴリズムを、再定式化されたMSCPインスタンスに適用する。
• 目的関数と制約違反のバランスをとるためにペナルティパラメータPを用い、実験ではP=1000に設定した。
• エリート解間の軌跡を探索する専用のPRアルゴリズムを用いて、BQPモデルを解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小和彩色問題（MSCP）は、二値二次計画法（BQP）として効果的に再定式化可能か？
• RQ2 解の品質と計算時間の観点から、BQP-PRアプローチは特化型MSCPアルゴリズムと比較してどのように性能を発揮するか？
• RQ3 大規模MSCPインスタンスにおけるメモリ使用量と解法時間の観点から、BQP-PRアプローチのスケーラビリティの限界は何か？
• RQ4 一般用途のBQPアルゴリズムは、MSCPに特化したヒューリスティクスを上回るか、同等の性能を発揮できるか？

主な発見

• BQP-PRアプローチは23個のベンチマークインスタンスのうち15個で最良知られていた解に到達し、特化型アルゴリズムの最良結果を同等または上回った。
• 14個のインスタンスでMRLFヒューリスティクスを上回り、8個のインスタンスでPGAアルゴリズムを上回った。
• 23個のインスタンスのうち17個で最良知られていた解に一致し、すべてのmycielおよびqueenシリーズ、およびDSJCシリーズの10個のインスタンスでも一致した。
• DSJC500.1インスタンスでは、BQP-PRが3152の解を発見したが、最良知られていた結果は2850であったため、大規模グラフでは性能に差が生じた。
• 特化型アルゴリズムよりも著しく高い計算時間を要し、特に大規模グラフでは平均時間の上昇が顕著に見られた。
• 20,000個を超えるBQP変数を含むインスタンスの解法がメモリ制限により不可能であったため、スケーラビリティの主要な制約が明らかになった。