[論文レビュー] Solving the P/NP Problem under Intrinsic Uncertainty

Stefan Jaeger|ArXiv.org|Nov 4, 2008

Numerical Methods and Algorithms参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、計算モデルに内在的不確実性を導入することでP/NP問題に新たな解決を提示する。プログラムコードと入力をビットレベルで区別できないものとみなす。不確実性をエントロピーと信頼度の閾値でモデル化し、P ≠ NPを証明する。具体的には、NPに属するがPに属さない関数を構築する。一方、すべての従来の難解な決定問題は、不確実性下での多項式時間近似によりPにとどまることが示される。

ABSTRACT

Heisenberg's uncertainty principle states that it is not possible to compute both the position and momentum of an electron with absolute certainty. However, this computational limitation, which is central to quantum mechanics, has no counterpart in theoretical computer science. Here, I will show that we can distinguish between the complexity classes P and NP when we consider intrinsic uncertainty in our computations, and take uncertainty about whether a bit belongs to the program code or machine input into account. Given intrinsic uncertainty, every output is uncertain, and computations become meaningful only in combination with a confidence level. In particular, it is impossible to compute solutions with absolute certainty as this requires infinite run-time. Considering intrinsic uncertainty, I will present a function that is in NP but not in P, and thus prove that P is a proper subset of NP. I will also show that all traditional hard decision problems have polynomial-time algorithms that provide solutions with confidence under uncertainty.

研究の動機と目的

• 計算モデルに内在的不確実性を導入することでP/NP問題を解決すること。
• チューリングマシンにおける硬直的決定の古典的仮定に代わり、不確実性を初期段階から組み込むこと。
• 内在的不確実性下で、NPに属するがPに属さない関数を構築することで、P ≠ NPを証明すること。
• 不確実性下での信頼度閾値を用いた計算において、すべての従来の硬直的決定問題がPにとどまることを示すこと。
• ソフト決定（エントロピー閾値付き）がPとNPを区別する新しい複雑性階層を確立すること。一方、硬直的決定はPにとどまる。

提案手法

• ビットがプログラムコードか入力か明確に分類できないという内在的不確実性原理を導入し、二値の曖昧性を生じさせる。
• 標準エントロピーを用いてこの不確実性をモデル化し、不確実性は H = -p log p - (1-p) log(1-p) で測定する。ここで p はビットがコードである確率である。
• 入力サイズ L(S) を観測精度に関連付けるシグモイド型関数 o' = 1 / 2^L(S) を用いて信頼度を定義する。
• 自己計算を用いて信頼度を生成する：T_e'(L(S))^NP(S) = T_e'(L(T_e'(L(S))^NP(S)))^NP(T_e'(L(S))^NP(S)) とし、再帰的不確実性を生成する。
• エントロピー閾値を適用し、信頼度付きのソフト決定（不確実性あり）と、不確実性のないハード決定（ハード決定）を区別する。これにより、修正された複雑性階層が得られる。
• 自己計算を実装する任意のチューリングマシンは、不確実性のため指数時間または指数空間を要するため、Pに属することは不可能であると証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計算モデルに内在的不確実性を導入することで、P/NP問題を解決できるか？
• RQ2 プログラムコードと入力の区別不能性が、PとNPを分ける根本的な計算的制限を生じるか？
• RQ3 内在的不確実性下で、多項式時間に検証可能（NP）だが、多項式時間に計算不能（Pに属さない）な関数を構築できるか？
• RQ4 不確実性下での信頼度閾値を用いた計算において、従来の硬直的決定問題はPにとどまるか？
• RQ5 量子力学の不確実性原理が、チューリングマシンに適用された場合、古典的計算をどのように制約するか？

主な発見

• 内在的不確実性下で、NPに属するがPに属さない関数が存在し、P ≠ NPが証明される。
• 不確実性下での自己計算は指数時間または指数空間を要するため、多項式時間では実現不可能である。
• すべての従来の硬直的決定問題、NP完全問題を含めて、不確実性下での信頼度閾値付き計算ではPにとどまる。
• 信頼度 o' = 1 / 2^L(S) により、自己計算の入力に占める入力Sの割合は最大1%に抑えられ、指数的複雑性が生じる。
• 内在的不確実性原理により、PがNPの真部分集合となる修正された複雑性階層が導かれる。ソフト決定（エントロピー閾値付き）がクラスを区別する。
• 本稿は、P ≠ NP であると結論づけるが、すべての従来の決定問題は、確実性ではなく信頼度付きで多項式時間内に解ける。