[論文レビュー] Solving the Pell equation via Rédei rational functions

Stefano Barbero, Umberto Cerruti+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2011

Polynomial and algebraic computation被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、拡張された実数における新しい群演算とRédei有理関数を用いた代数的枠組みを導入し、ペル方程式を解く代替的手法を提供する。Rédei関数と連分数収束項との間の群同型を介して、$x^2 - dy^2 = 1$ の解が、$Q_{2n}(d, \frac{x_1+1}{y_1}) = \frac{p_{kL-1}}{q_{kL-1}}$ という合成により系統的に生成可能であることが示され、ここで $L$ が偶数の場合は $k = n$、奇数の場合は $k = 2n$ となる。これにより、有理関数に基づくアルゴリズム的手順が、ペル方程式のすべての解を導出可能となる。

ABSTRACT

In this paper, we define a new product over $\mathbb{R}^{\infty}$, which allows us to obtain a group isomorphic to $\mathbb R^*$ with the usual product. This operation unexpectedly offers an interpretation of the Rédei rational functions, making more clear some of their properties, and leads to another product, which generates a group structure over the Pell hyperbola. Finally, we join together these results, in order to evaluate solutions of Pell equation in an original way.

研究の動機と目的

• 拡張された実数 $\mathbb{R}^\infty$ 上の群構造を用いて、Rédei有理関数の新たな代数的解釈を確立し、$\mathbb{R}^*$ に同型であるものとする。
• ペル双曲型 $H_d$ 上に、直線の交点による幾何的群法を模倣する群演算を定義する。
• Rédei有理関数と $\sqrt{d}$ の連分数収束項との関係を確立し、ペル方程式の解を生成する。
• すべてのペル方程式の解が、$k$ が周期長 $L$ の偶奇に応じて $k = n$（$L$ が偶数）または $k = 2n$（$L$ が奇数）となる $Q_{2n}(d, \frac{x_1+1}{y_1}) = \frac{p_{kL-1}}{q_{kL-1}}$ の形で得られることを示す。
• 連分数アルゴリズムに依存せず、関数論的アプローチによりペル方程式の解を計算する代替的アルゴリズム的手法を提供する。

提案手法

• $(\mathbb{R}^\infty, \odot_d)$ が $(\mathbb{R}^*, \cdot)$ に同型となるように、$\mathbb{R}^\infty$ 上に二項演算 $\odot_d$ を定義し、有理関数に新たな代数的構造を導入する。
• $(z + \sqrt{d})^n$ の二項展開を用いて定義される $N_n$ と $D_n$ を用いて、Rédei有理関数 $Q_n(d,z) = N_n(d,z)/D_n(d,z)$ を導入する。
• 乗法的性質 $Q_{nm}(d,z) = Q_n(d, Q_m(d,z))$ を確立し、Rédei関数が合成に関して閉じており、可換な半群をなすことを示す。
• 点 $(x,y) \in H_d$ に対して、$\tau(x,y) = \frac{1+x}{y}$ という変換を定義し、ペル双曲型 $H_d$ をRédei関数の定義域に結びつける。
• 群演算 $\odot_d$ がRédeイ関数の反復に一致することを示すために、$\left(\frac{1+x}{y}\right)^{n_{\odot_d}} = Q_n\left(d, \frac{1+x}{y}\right)$ を証明する。
• 恒等式 $Q_{2n}(d, \frac{x_1+1}{y_1}) = \frac{p_{kL-1}}{q_{kL-1}}$ を用いて、$\sqrt{d}$ のすべての収束項を生成し、ペル方程式の解を与えるものとする。ここで $L$ が偶数の場合は $k = n$、奇数の場合は $k = 2n$ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Rédei有理関数は、$\mathbb{R}^\infty$ 上の新しい群構造を用いて、より深い代数的性質を明らかにする形で再解釈可能か？
• RQ2 ペル双曲型 $H_d$ 上の幾何的群法は、Rédei関数を含む変換を用いて代数的に再構築可能か？
• RQ3 Rédei有理関数と $\sqrt{d}$ の連分数収束項との間の明確な関係は何か？
• RQ4 合成 $Q_{2n}(d, \frac{x_1+1}{y_1})$ は、周期長 $L$ が偶数・奇数の両方において、ペル方程式の解を与える収束項 $\frac{p_{kL-1}}{q_{kL-1}}$ を生成するか？
• RQ5 この枠組みは、ペル方程式 $x^2 - dy^2 = 1$ のすべての整数解を計算する代替的アルゴリズム的手法として機能可能か？

主な発見

• Rédei有理関数 $Q_n(d,z)$ は、$Q_{nm}(d,z) = Q_n(d, Q_m(d,z))$ という乗法的性質を満たし、関数の反復により高次の解を生成可能となる。
• 変換 $\tau(x,y) = \frac{1+x}{y}$ は、ペル双曲型 $H_d$ 上の点を $\mathbb{R}^\infty$ に写像し、群演算 $\odot_d$ がRédei関数の下での累乗に対応することが示された。
• 任意のペル方程式の解 $(x_1, y_1)$ に対して、$Q_{2n}(d, \frac{x_1+1}{y_1}) = \frac{p_{kL-1}}{q_{kL-1}}$ が成り立ち、ここで $L$ が偶数の場合は $k = n$、奇数の場合は $k = 2n$ となる。これにより、すべての解を与える収束項が生成される。
• 恒等式 $\left(\frac{1+x}{y}\right)^{n_{\odot_d}} = Q_n\left(d, \frac{1+x}{y}\right)$ が成立し、$\mathbb{R}^\infty$ 上の群演算とRédei関数の評価が結びつく。
• この方法により、初期の最小解のみを用いて、ペル方程式 $x^2 - dy^2 = 1$ のすべての整数解を完全かつ系統的に生成可能である。
• この枠組みにより、ペル方程式の解が、周期長 $L$ の偶奇に応じて $k$ が定まる $Q_{2n}(d, \frac{x_1+1}{y_1})$ を通じて得られる $\frac{p_{kL-1}}{q_{kL-1}}$ の値として正確に特定されることが明らかになった。