[論文レビュー] Solving the Steiner Tree Problem in Graphs using Physarum-inspired Algorithms

Yahui Sun|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2019

Slime Mold and Myxomycetes Research参考文献 38被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、グラフのスティーナー木問題（STPG）を解くために、*Physarum polycephalum* の原 protoplasmic 流動ダイナミクスを模倣した2つの生理的由来のアルゴリズム、MS³-PO および HMS³-PO を提案する。これらのアルゴリズムは、最小コストのスティーナー木を進化させる。小規模なインスタンスでは平均誤差0.19%、大規模なインスタンス（最大10,000頂点）では平均誤差3.69%を達成し、GA や DPSO、SPH ヒューリスティックを上回る性能を示した。

ABSTRACT

Some biological experiments show that the tubular structures of Physarum polycephalum are often analogous to those of Steiner trees. Therefore, the emerging Physarum-inspired Algorithms (PAs) have the potential of computing Steiner trees. In this paper, we propose two PAs to solve the Steiner Tree Problem in Graphs (STPG). We apply some widely-used artificial and real-world VLSI design instances to evaluate the performance of our PAs. The experimental results show that: 1) for instances with hundreds of vertices, our first PA can find feasible solutions with an average error of 0.19%, while the Genetic Algorithm (GA), the Discrete Particle Swarm Optimization (DPSO) algorithm and a widely-used Steiner tree approximation algorithm: the Shortest Path Heuristic (SPH) algorithm can only find feasible solutions with an average error above 4.96%; and 2) for larger instances with up to tens of thousands of vertices, where our first PA, GA and DPSO are too slow to be used, our second PA can find feasible solutions with an average error of 3.69%, while SPH can only find feasible solutions with an average error of 6.42%. These experimental results indicate that PAs can compute Steiner trees, and it may be preferable to apply our PAs to solve STPG in some cases.

研究の動機と目的

• 大規模な実世界のグラフ、特にVLSI設計において、NP困難なグラフのスティーナー木問題（STPG）を効率的に解く挑戦に応えること。
• *Physarum polycephalum* の生物学的行動に基づく自然由来のアルゴリズムを開発すること。この生物は、スティーナー木に類似した効率的なチューブネットワークを自然に形成する。
• 従来の生理的由来のアルゴリズムが、大規模グラフで失敗する、均一な辺重みを仮定する、または標準ベンチマークで競争力のない性能を示すという限界を克服すること。
• GA や DPSO、SPH といった広く使われているヒューリスティックと比較して、実世界および人工のVLSI設計インスタンスにおいて提案されたアルゴリズムの性能を評価すること。
• 伝統的なメタヒューリスティックが計算的に非現実的になる大規模グラフにおいて、生理的由来のアルゴリズムが高品質な解を競争力のある実行時間で得られることを示すこと。

提案手法

• MS³-PO アルゴリズムは、辺の伝導度が修正されたハーゲン＝ポアズイユ方程式に従って進化する流れネットワークとしてグラフをモデル化する。これは、圧力差に基づく原 protoplasmic 流れとチューブの厚みの増加を模倣する。
• 辺の伝導度は微分方程式 $ \frac{d}{dt}D_{ij} = \alpha |Q_{ij}| - \mu D_{ij} $ により更新され、ここで $ Q_{ij} $ は辺 $ (i,j) $ の両端の圧力差から導かれる流量を表し、$ D_{ij} $ はチューブの厚さを表す。
• アルゴリズムは複数のソースノードと1つのシンクノードで初期化され、高流量経路を強化することで、最小コストのスティーナー木へと系が進化する。
• HMS³-PO アルゴリズムは階層的分解戦略を導入する。グラフは端末のクラスタリングに基づいて部分グラフに分割され、各部分グラフにMS³-POを再帰的に適用した後、解を統合する。
• 階層的アプローチにより計算複雑度が低減され、数万の頂点を含む大規模グラフへのスケーラビリティが可能になる。
• 部分グラフ数が端末数に等しくなると、解が最短経路ヒューリスティック（SPH）に退化するため、少なくともSPHレベルの性能を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数百の頂点を含むグラフにおいて、生理的由来のアルゴリズムは、GA や DPSO といった既存のヒューリスティックを上回る近似的なスティーナー木を効果的に計算できるか？
• RQ2 従来のメタヒューリスティックが計算的に非現実的になる大規模グラフ（数万の頂点まで）において、生理的由来のアルゴリズムはスケーラブルか？
• RQ3 HMS³-PO における階層的分解戦略は、大規模VLSI設計インスタンスへのスケーラビリティを実現しながら、解の品質を維持できるか？
• RQ4 提案された生理的由来のアルゴリズムは、標準ベンチマークインスタンスにおいて、広く使われているSPHヒューリスティックと定量的に比較してどの程度の性能を示すか？
• RQ5 *Physarum polycephalum* のネットワーク形成の生物学的アナロジーを、STPGのための堅牢でスケーラブルかつ高性能なアルゴリズムに正式にマッピングできるか？

主な発見

• 数百の頂点を含む小規模なVLSI設計インスタンスでは、MS³-PO が平均誤差0.19%を達成し、GA（28.72%誤差）、DPSO（279.05%誤差）、SPH（4.96%誤差）を著しく上回った。
• MS³-PO は17個の小規模インスタンスのうち14個で正確なスティーナー最小木（SMT）を発見したが、GA、DPSO、SPH はそれぞれ2、0、3個のインスタンスでのみSMTを発見した。
• 最大10,393頂点を含む大規模VLSI設計インスタンスでは、HMS³-PO が平均誤差3.69%を達成し、SPH の平均誤差6.42%を上回った。
• HMS³-PO は、部分グラフ数が端末数に等しくなるとSPHに退化するため、すべてのインスタンスで少なくともSPHレベルの性能を保証した。
• HMS³-PO は、SteinLib ライブラリの22個のすべての大規模ベンチマークインスタンスを合理的な時間内に解き、大規模グラフへのスケーラビリティを実証した。
• 結果から、生理的由来のアルゴリズムは、GA や DPSO が遅すぎて使えない大規模グラフにおいて、既存のヒューリスティックと競合可能な代替手段となり得ることが示された。