[論文レビュー] Solving the wave equation with physics-informed deep learning

Ben Moseley, Andrew Markham+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2020

Model Reduction and Neural Networks被引用数 112

ひとこと要約

この論文は、物理知識を組み込んだニューラルネットワーク（PINNs）が、均質、層状、地球実在的メディアにおける2D音響波動方程式を解けることを示しており、境界データを超えた一般化を実現し、源位置の条件付けによって再訓練を回避できる。

ABSTRACT

We investigate the use of Physics-Informed Neural Networks (PINNs) for solving the wave equation. Whilst PINNs have been successfully applied across many physical systems, the wave equation presents unique challenges due to the multi-scale, propagating and oscillatory nature of its solutions, and it is unclear how well they perform in this setting. We use a deep neural network to learn solutions of the wave equation, using the wave equation and a boundary condition as direct constraints in the loss function when training the network. We test the approach by solving the 2D acoustic wave equation for spatially-varying velocity models of increasing complexity, including homogeneous, layered and Earth-realistic models, and find the network is able to accurately simulate the wavefield across these cases. By using the physics constraint in the loss function the network is able to solve for the wavefield far outside of its boundary training data, offering a way to reduce the generalisation issues of existing deep learning approaches. We extend the approach for the Earth-realistic case by conditioning the network on the source location and find that it is able to generalise over this initial condition, removing the need to retrain the network for each solution. In contrast to traditional numerical simulation this approach is very efficient when computing arbitrary space-time points in the wavefield, as once trained the network carries out inference in a single step without needing to compute the entire wavefield. We discuss the potential applications, limitations and further research directions of this work.

研究の動機と目的

• 複雑さが増すメディアを横断して波動方程式を解く際のPINNsの動機づけと評価。
• 損失関数における物理的制約が境界データを超えた一般化を改善することを示す。
• 初期条件を一般化するために源位置を条件付けしてPINNを拡張する。
• 波動型問題の収束を改善するためのカリキュラム学習を提案する。
• 界面や高周波・3D拡張の課題と今後の方向性を特定する。

提案手法

• 波動方程式を、ネットワークが u(t,x) を近似する物理制約付きニューラルネットワーク問題として定式化する。
• 初期FDデータに基づく境界損失と、自動微分を用いて波動方程式を強制する物理損失を用いる。
• softplus活性化関数と線形出力を用いて、10層の全結合ネットワーク（1024チャネル）で訓練する。
• ソース位置を条件付けして初期条件を越えた一般化を図るようPINNsを拡張する。
• 境界データでまず訓練し、時間ホライズンを拡張する物理損失を追加するカリキュラム学習を実装する。
• 増加する複雑さを持つ三つの速度モデル（均質、層状、Marmousi）でテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的に変化する速度を持つ媒質で、PINNsは2D音響波動方程式を正確に解けるか？
• RQ2 波動問題における物理損失の導入は、境界訓練データを超えた一般化を可能にするか？
• RQ3 源位置をPINNに条件付けることで、再訓練なしに異なる初期条件へ一般化できるか？
• RQ4 波動方程式のPINNの収束を改善する訓練戦略（例：カリキュラム学習）は何か？
• RQ5 界面でのPINNの限界や地球実在モデルの複雑性に対する限界は何か？

主な発見

• PINNsは均質および層状媒体で波場を正確にシミュレートし、FD解と一致し、初期訓練時間を超えて一般化する。
• 物理損失は、様々な媒体で伝播・反射・圧縮・膨張・球面拡散を再現するようネットワークを有効にする。
• 源位置を条件付けると、地球実在のMarmousiモデルで再訓練なしに新しい源へ一般化できる。
• カリキュラム学習は、初めから物理損失を使うより収束を改善する。
• Marmousiケースは有効な初期波場のモデリングと後期動的挙動を示すが、低振幅の反射波には苦戦しており、界面不連続性の課題を示唆している。
• Marmousi用PINNの訓練には Titan V GPU で約1日かかるが、その後は毎問ごとの波場評価が高速に可能である。