[論文レビュー] Solving Three Dimensional Maxwell Eigenvalue Problem with Fourteen Bravais Lattices

Tsung‐Ming Huang, Tiexiang Li+4 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2018

Photonic Crystals and Applications参考文献 32被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、直交座標系におけるブロッホ周期境界条件の再定式化と離散的回転作用素の可換性を活用することで、14種のブラベー格子すべてにわたる三次元マクスウェル固有値問題を統一的かつヌル空間を含まない方法で解くための手法を提示する。主な貢献は、ユニタリ同値変換を用いた3×3複素反対称行列の標準形への双回転作用素の体系的固有値分解であり、これは三次元等方的光結晶のバンド構造計算を効率的かつ高精度に行うことを可能にする。

ABSTRACT

Calculation of band structure of three dimensional photonic crystals amounts to solving large-scale Maxwell eigenvalue problems, which are notoriously challenging due to high multiplicity of zero eigenvalue. In this paper, we try to address this problem in such a broad context that band structure of three dimensional isotropic photonic crystals with all 14 Bravais lattices can be efficiently computed in a unified framework. We uncover the delicate machinery behind several key results of our work and on the basis of this new understanding we drastically simplify the derivations, proofs and arguments in our framework. In this work particular effort is made on reformulating the Bloch boundary condition for all 14 Bravais lattices in the redefined orthogonal coordinate system, and establishing eigen-decomposition of discrete partial derivative operators by systematic use of commutativity among them, which has been overlooked previously, and reducing eigen-decomposition of double-curl operator to the canonical form of a 3x3 complex skew-symmetric matrix under unitary congruence. With the validity of the novel nullspace free method in the broad context, we perform some calculations on one benchmark system to demonstrate the accuracy and efficiency of our algorithm.

研究の動機と目的

• 14種のブラベー格子すべてにわたる3次元マクスウェル固有値問題を解く統一的計算フレームワークの構築を目的とする。
• 発散自由制約に起因する一般化固有値問題における大きなヌル空間の課題を克服することを目的とする。
• 任意の格子に対して一貫性があり、数値離散化と整合性を持つ直交座標系におけるすべての格子のブロッホ周期境界条件を再定式化することを目的とする。
• 離散的偏微分作用素と回転作用素の相互可換性を活用して、それらの作用素の体系的固有値分解を確立することを目的とする。
• ユニタリ同値変換を用いて双回転作用素を標準形に還元し、バンド構造問題の効率的かつ高精度な解法を可能とすることを目的とする。

提案手法

• 元の斜交格子ベクトルから導かれる新たに定義された直交座標系において、14種のブラベー格子すべてのブロッホ周期境界条件を再定式化する。
• ヤー型有限差分スキームを用いて、勾配作用素 ∇×E と ∇×H を行列・ベクトル積として離散化し、再定式化された境界条件と整合性を保つ。
• 離散的偏微分作用素 C1, C2, C3 相互が可換であることを確立し、同時に対角化が可能であることを示す。
• 双回転作用素 A = C*C がユニタリ同値変換によって3×3複素反対称行列の標準形に変換可能であることを証明する。
• C1, C2, C3 の固有値分解を用いて、回転作用素 C のヌル空間および値域空間の正規直交基底を解析的に同定する。
• 値域空間への射影によりヌル空間を含まない一般化固有値問題を構築し、物理的モードのみが保持されるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 14種のブラベー格子すべてにわたる3次元マクスウェル固有値問題を解くための単一で統一的なフレームワークを構築可能か？
• RQ2 任意のブラベー格子、特に三斜晶格子において、直交座標系におけるブロッホ周期境界条件を一貫して定式化する方法は何か？
• RQ3 離散的偏微分作用素間の可換性が、双回転作用素の固有値分解を簡略化する役割を果たすか？
• RQ4 ユニタリ同値変換のもとで双回転作用素を標準形に還元可能か？ また、この還元が一般化固有値問題の効率的解法を可能にする仕組みは何か？
• RQ5 すべての格子にわたって、回転作用素のヌル空間を体系的に解析的に同定し、除去可能か？

主な発見

• 著者らは、14種のブラベー格子すべてにわたるブロッホ周期境界条件を直交座標系において再定式化し、一貫性のある離散化を可能にした。
• 離散的偏微分作用素 C1, C2, C3 が可換であることが示され、同時に対角化が可能であり、解析的固有値分解が可能であることが裏付けられた。
• 双回転作用素 A = C*C がユニタリ同値変換のもとで3×3複素反対称行列の標準形に還元され、固有値問題が簡略化された。
• 回転作用素のヌル空間が解析的に同定され、除去され、スプuriousモードを避けるヌル空間を含まない定式化が実現された。
• ベンチマーク系での妥当性評価が行われ、三次元光結晶のバンド構造計算において高い精度と効率性が示された。
• フレームワークは一般性を有し、14種のブラベー格子すべてに適用可能であり、三斜晶格子が普遍的なケースを占める。