[論文レビュー] Solving two-point boundary value problems using generating functions: Theory and Applications to optimal control and the study of Hamiltonian dynamical systems

Vincent Guibout, Daniel J. Scheeres|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2003

Adaptive Dynamic Programming Control参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ハミルトニアン系における2点境界値問題を解くために生成関数に基づく手法を提示する。この手法はハミルトン＝ジャコビ理論と位相空間の流れに由来する正準変換を活用し、初期値の見積もりを必要とせず、最適制御問題や位相空間構造解析（周期軌道や平衡点など）を直接かつ効率的に解ける。宇宙機編隊飛行や軌道設計への応用が可能である。

ABSTRACT

A methodology for solving two-point boundary value problems in phase space for Hamiltonian systems is presented. Using Hamilton-Jacobi theory in conjunction with the canonical transformation induced by the phase flow, we show that the generating functions for this transformation solve any two-point boundary value problem in phase space. Properties of the generating functions are exposed, we especially emphasize multiple solutions, singularities, relations with the state transition matrix and symmetries. Then, we show that using Hamilton's principal function we are also able to solve two-point boundary value problems, nevertheless both methodologies have fundamental differences that we explore. Finally, we present some applications of this theory. Using the generating functions for the phase flow canonical transformation we are able to solve the optimal control problem (without an initial guess), to study phase space structures in Hamiltonian dynamical systems (periodic orbits, equilibrium points) and classical targeting problems (this last topic finds its applications in the design of spacecraft formation trajectories, reconfiguration, formation keeping, etc...).

研究の動機と目的

• 特にn!個の軌道解が必要となる複数宇宙機編隊ミッションにおいて、従来のシャッティング法の非効率性を解消すること。
• n自由度のハミルトニアン系における任意の2点境界値問題を、ハミルトン＝ジャコビ方程式から導出された生成関数を用いて体系的に解く手法の開発。
• 反復的な初期値の調整を必要とせず、ハミルトニアン力学系における軌道、周期軌道、平衡点を直接計算可能にする。
• 生成関数の応用を最適制御問題に拡張し、標準のシャッティング法に代わる反復的でない解析的手法を提供する。
• ラムバート問題や運動量空間境界値問題を含む、複雑な宇宙飛行力学的問題を解く理論的・計算的フレームワークの提供。

提案手法

• ハミルトニアン系の位相空間の流れが誘導する正準変換を表す生成関数を、ハミルトン＝ジャコビ理論を用いて導出する。
• ハミルトン＝ジャコビ方程式を事前に離線で解き、生成関数を取得。その後、任意の2点境界値問題において初期状態から最終状態への写像を実現する。
• ハミルトンの主関数を生成関数の代替として用い、位相空間の流れに基づく生成関数と比較し、その性質と制限を検証する。
• 生成関数を境界条件で評価することで軌道を直接計算し、数値積分や反復ソルバーを回避する。
• 生成関数の対称性や特異点を活用して、位相空間の多様な解や構造的特徴を解析する。
• 局所的に位相空間で収束する数値アルゴリズムを用いて、最適制御や周期軌道計算といった実用的応用を実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトン＝ジャコビ方程式から導出された生成関数を用いることで、初期値の見積もりを必要とせずにハミルトニアン系における2点境界値問題を解くことができるか？
• RQ2 位相空間の流れに基づく生成関数による解とハミルトンの主関数による解とを比較した場合、構造的性質、多重解、特異点の観点でどのような相違が生じるか？
• RQ3 生成関数における特異点や対称性が、境界値問題における解の存在と多重性に及ぼす影響は何か？
• RQ4 この手法は、特に宇宙機編隊飛行を含む航空宇宙システムの最適制御問題に、どの程度適用可能か？
• RQ5 このフレームワークは、制限付き3体問題のようなハミルトニアン系において、周期軌道や平衡点を効率的に計算できるか？

主な発見

• 位相空間の流れに由来する正準変換の生成関数は、ハミルトン＝ジャコビ方程式の解を介して、初期状態から最終状態への写像を提供し、位相空間における任意の2点境界値問題を解ける。
• 反復的な初期値の調整を必要とせず、宇宙機編隊軌道への応用例を通じて、最適制御問題の直接解法が可能であることが実証された。
• 生成関数の構造が特異点や対称性を有する場合、境界値問題の多重解が自然に捉えられる。
• 生成関数は線形系における状態遷移行列と関連しており、線形化された力学と非線形解との間に幾何的・解析的リンクを提供する。
• 円形制限付き3体問題およびヒルの問題への応用では、周期軌道や平衡点が正しく計算され、解集合のプロットによる数値的妥当性が確認された。
• 生成関数を事前に計算しておけば、m個の境界値問題を解くコストはm回の関数評価に抑えられ、多機編隊ミッションにおいてスケーラブルである。