[論文レビュー] Solving unconstrained 0-1 polynomial programs through quadratic convex reformulation

Sourour Elloumi, Amélie Lambert+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2019

Advanced Optimization Algorithms ResearchMathematics参考文献 46被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、非凸で離散的な目的関数を有する無制約バイナリ多項式プログラムを、二乗凸再定式化を用いて凸二次プログラムに再定式化することで、三段階の正確な手法PQCRを提案する。本手法は、挑戦的なインスタンスにおいて優れた上限と最適性ギャップを達成し、6つの以前に未解決であった低自己相関バイナリシーケンス問題を解明し、他の27つのインスタンスについても上限を改善した。

ABSTRACT

We propose a solution approach for the problem (P) of minimizing an unconstrained binary polynomial optimization problem. We call this method PQCR (Polynomial Quadratic Convex Reformulation). The resolution is based on a 3-phase method. The first phase consists in reformulating (P) into a quadratic program (QP). For this, we recursively reduce the degree of (P) to two, by use of the standard substitution of the product of two variables by a new one. We then obtain a linearly constrained binary program. In the second phase, we rewrite the quadratic objective function into an equivalent and parametrized quadratic function using the equality x 2 i = x i and new valid quadratic equalities. Then, we focus on finding the best parameters to get a quadratic convex program which continuous relaxation's optimal value is maximized. For this, we build a semidefinite relaxation (SDP) of (QP). Then, we prove that the standard linearization inequalities, used for the quadratization step, are redundant in (SDP) in presence of the new quadratic equalities. Next, we deduce our optimal parameters from the dual optimal solution of (SDP). The third phase consists in solving (QP *), the optimal reformulated problem, with a standard solver. In particular, at each node of the branch-and-bound, the solver computes the optimal value of a continuous quadratic convex program. We present computational results on instances of the image restoration problem and of the low autocorrelation binary sequence problem. We compare PQCR with other convexification methods, and with the general solver Baron 17.4.1 [39]. We observe that most of the considered instances can be solved with our approach combined with the use of Cplex [24].

研究の動機と目的

• 非凸で離散的な目的関数を有する無制約バイナリ多項式プログラムの最小化というNP困難問題に取り組む。
• 一般ソルバーや既存の凸化手法よりも困難なインスタンスで優れる、特化した凸化手法を開発する。
• 二乗化された問題構造に特化した新しい半定値計画法の緩和を用いて、連続緩和上限を向上させる。
• 最適再定式化後に標準ソルバを用いて大規模バイナリ多項式プログラムの正確なグローバル最適化を可能にする。
• 異なる二乗化戦略が凸再定式化の品質および解法効率に与える影響を調査する。

提案手法

• 段階1：変数の積を新たなバイナリ変数に再帰的に置き換えることで、元の多項式問題を線形制約付きバイナリ二次計画問題（QP）に二乗化する。
• 段階2：$x_i^2 = x_i$ などの新たな有効な二次等式（および二乗化から導かれる追加の恒等式）を導入し、QPの目的関数をパラメータ化する。
• QPの新しい半定値計画法（SDP）緩和を構築し、連続緩和上限を最大化する最適パラメータを計算する。
• これらの新たな二次等式を含めると、標準線形化不等式が冗長であることを証明し、SDP定式化を改善する。
• SDP緩和の双対解から最適パラメータを導出し、等価な凸二次計画問題（QP*）を構築する。
• 段階3：最適に再定式化された凸QP*を、標準の分枝限定法ソルバを用いて解き、凸性を活かしてノード最適化を効率化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特化した二乗凸再定式化戦略は、無制約バイナリ多項式プログラムの連続緩和上限を顕著に改善できるか？
• RQ2 二乗化手法の選択が、得られる凸緩和のタイトさおよび解法パフォーマンスに与える影響は何か？
• RQ3 提案されたPQCR手法は、バイナリ多項式プログラムのベンチマークインスタンスにおいて、一般用途のグローバルソルバ（Baron）を上回る性能を示せるか？
• RQ4 「重要」とされる二次等式を特定する前処理が、SDP解法フェーズの効率に与える影響は何か？
• RQ5 PQCRは、以前に未解決であった低自己相関バイナリシーケンス問題のインスタンスを、どの程度解けるか？

主な発見

• PQCRは、minlplibに掲載された低自己相関バイナリシーケンス（LABS）問題セットの45インスタンスのうち6つを未解決として報告されていなかったものとして解明した。
• 残りの27インスタンス（未解決または部分的に解かれたもの）について、PQCRはプライマルおよびデュアル両方の上限を改善し、境界品質の向上を示した。
• PQCRの連続緩和上限は、他の二乗化手法（PC1, PC2, PC3）と比較して一貫してタイトであり、特に提案された二乗化戦略で最高の結果が得られた。
• 平均して、SDP緩和の解法に総CPU時間の75％が消費されており、このフェーズの高速化のための前処理で重要となる等式を特定する必要があることが示された。
• テストされたインスタンスにおいて、PQCRは一般用途ソルバのBaronに比べ、境界改善および解法品質の点で顕著に優れた性能を示した。
• 著者らは、二乗化された問題における変数数（N）およびSDP境界（LB_i）の品質が、二乗化の選択に強く依存しており、PC3が一部のケースで競争力のある性能を示したと観察した。