[論文レビュー] Solving various NP-Hard problems using exponentially fewer qubits on a Quantum Computer

Yagnik Chatterjee, Eric Bourreau+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ゲートベースの量子コンピュータ上で、従来の古典的手法に比べて指数関数的に少ないキュービットを用いて、最大カット、最小分割、最大クリーク、最大重み付き独立集合といった多様なNP困難な組合せ最適化問題を解くための対数的キュービット符号化手法を提案する。問題を対数的符号化方式と互換性のあるQUBOフレームワークに再定式化することで、本研究では、実際の量子ハードウェア上で256ノードの最大カット問題と64対象の最小分割問題を成功裏に実行し、これまでで最大の実世界の量子実行を達成した。

ABSTRACT

NP-hard problems are not believed to be exactly solvable through general polynomial time algorithms. Hybrid quantum-classical algorithms to address such combinatorial problems have been of great interest in the past few years. Such algorithms are heuristic in nature and aim to obtain an approximate solution. Significant improvements in computational time and/or the ability to treat large problems are some of the principal promises of quantum computing in this regard. The hardware, however, is still in its infancy and the current Noisy Intermediate Scale Quantum (NISQ) computers are not able to optimize industrially relevant problems. Moreover, the storage of qubits and introduction of entanglement require extreme physical conditions. An issue with quantum optimization algorithms such as QAOA is that they scale linearly with problem size. In this paper, we build upon a proprietary methodology which scales logarithmically with problem size - opening an avenue for treating optimization problems of unprecedented scale on gate-based quantum computers. In order to test the performance of the algorithm, we first find a way to apply it to a handful of NP-hard problems: Maximum Cut, Minimum Partition, Maximum Clique, Maximum Weighted Independent Set. Subsequently, these algorithms are tested on a quantum simulator with graph sizes of over a hundred nodes and on a real quantum computer up to graph sizes of 256. To our knowledge, these constitute the largest realistic combinatorial optimization problems ever run on a NISQ device, overcoming previous problem sizes by almost tenfold.

研究の動機と目的

• 現在のNISQデバイスで解ける問題のサイズを制限する、QAOAなどの既存の量子最適化アルゴリズムの線形的キュービットスケーリングの限界を克服すること。
• 問題サイズにかかわらずO(log n)キュービットで十分である一般用途の量子アルゴリズムを開発すること。
• 特許取得済みの対数的符号化技術を活用して、現在のノイズの多い中規模量子（NISQ）ハードウェアで大規模かつ産業的関連性の高い最適化問題を実行可能にする実証を行うこと。
• 還元とQUBO再定式化により、最大カットを超えて他のNP困難問題への対数的符号化法の適用範囲を拡張すること。
• シミュレーションと実量子ハードウェアでの実行を通じた実験的妥当性の検証を行い、ユニバーサルゲートベースの量子プロセッサ上で最大256ノードの前例のない大きな問題サイズ（256ノード）を達成すること。

提案手法

• コアとなる手法は、グラフ内の各ノードをlog₂nキュービットに符号化された2進ラベルで表現する対数的キュービット符号化であり、必要なキュービット数をnから⌈log₂n⌉に劇的に削減する。
• 問題固有の還元を用いてNP困難問題を最大カット問題にマッピングすることで、複数の問題タイプにわたって同じ対数的符号化フレームワークを適用可能にする。
• 一般の2次無制約バイナリ最適化（QUBO）問題に対して、sQUBO表現を導入し、QUBO行列をアルゴリズムのハミルトニアン構造と互換性のある形に変換することで、対数的符号化と直接統合可能にする。
• 変動型量子アプローチを用い、古典的最適化器（例：COBYLAや遺伝的アルゴリズム）を用いてパラメータを繰り返し調整し、問題ハミルトニアンの期待値を最小化する。
• 観測量の期待値は、パウリ演算子のテンソル積の和としてハミルトニアンを表現するパウリストリング分解により計算され、NISQデバイス上で測定に基づくエネルギー推定が可能になる。
• 本手法は、最大100以上のノードのグラフについての量子シミュレータ（100+ノード）と実量子ハードウェア（IBM Osprey、最大256ノード）の両方でテストされ、異なる最適化器と問題インスタンスとの間で結果を比較した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対数的符号化を活用することで、古典的手法に比べて指数関数的に少ないキュービットでNP困難な最適化問題を解くことは可能か？
• RQ2 最大カットを超えて、最小分割や最大クリークといった他のNP困難問題へ、対数的符号化法をどの程度一般化できるか？
• RQ3 現在のNISQデバイスで、この対数的符号化アプローチを用いて実用的に解ける最大の問題サイズは何か？
• RQ4 異なる問題インスタンスと最適化器の下で、量子シミュレータと実量子ハードウェアとの間で、アルゴリズムの性能はどのように比較されるか？
• RQ5 sQUBO表現は、一般性やスケーラビリティを損なわず、任意のQUBO問題を対数的符号化フレームワークにシームレスに統合可能か？

主な発見

• 本研究では、実際の量子ハードウェア上で256ノードの最大カット問題を成功裏に解いた。これは、現在のユニバーサルゲートベースの量子コンピュータで解かれた最大の現実的組合せ最適化問題である。
• 64対象の最小分割問題も実ハードウェアで解かれた。これは、従来の問題サイズ（約25〜30対象）に比べて顕著な前進を示した。
• 量子シミュレータ上では100ノードを超える問題インスタンスについても安定した収束を達成し、ノイズの影響下でもスケーラビリティと耐障害性を示した。
• COBYLAや遺伝的アルゴリズムといった古典的最適化器の使用により、全テスト問題サイズで一貫した改善が得られ、解の品質が向上した。
• キュービット数をnから⌈log₂n⌉に削減することで、256ノードの問題をたった8キュービットで符号化可能となり、キュービット数は32分の1に削減された。
• 結果から、回路の深さが小さく、SWAPゲートの数も少ない、より小型で高精度の量子デバイスが、より大規模でノイズの多いデバイスを上回る性能を示すことがわかった。