[論文レビュー] Solving weighted and counting variants of connectivity problems parameterized by treewidth deterministically in single exponential time

Hans L. Bodlaender, Marek Cygan+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 45被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、木幅が有界なグラフにおける重み付きおよびカウントバージョンの接続性問題（例えばハミルトン閉路やスティーナー木）を、単一指数時間 O(1.94^tw n^O(1)) で決定的アルゴリズムにより解く手法を提示する。本稿では、2つの新しい線形代数に基づく技術を導入する：行列のランクを用いて動的計画法の状態を圧縮する代表集合を用いたランクベース手法、およびマトリクスツリーテーブル定理を活用して解の数え上げの閉形式式を導出するデターミナントベース手法。主な貢献は、類似した実行時間境界を持つランダム化アルゴリズムでのみ達成されていた問題に対して、決定的かつ単一指数時間の時間計算量を達成したことである。

ABSTRACT

It is well known that many local graph problems, like Vertex Cover and Dominating Set, can be solved in 2^{O(tw)}|V|^{O(1)} time for graphs G=(V,E) with a given tree decomposition of width tw. However, for nonlocal problems, like the fundamental class of connectivity problems, for a long time we did not know how to do this faster than tw^{O(tw)}|V|^{O(1)}. Recently, Cygan et al. (FOCS 2011) presented Monte Carlo algorithms for a wide range of connectivity problems running in time $c^{tw}|V|^{O(1)} for a small constant c, e.g., for Hamiltonian Cycle and Steiner tree. Naturally, this raises the question whether randomization is necessary to achieve this runtime; furthermore, it is desirable to also solve counting and weighted versions (the latter without incurring a pseudo-polynomial cost in terms of the weights). We present two new approaches rooted in linear algebra, based on matrix rank and determinants, which provide deterministic c^{tw}|V|^{O(1)} time algorithms, also for weighted and counting versions. For example, in this time we can solve the traveling salesman problem or count the number of Hamiltonian cycles. The rank-based ideas provide a rather general approach for speeding up even straightforward dynamic programming formulations by identifying "small" sets of representative partial solutions; we focus on the case of expressing connectivity via sets of partitions, but the essential ideas should have further applications. The determinant-based approach uses the matrix tree theorem for deriving closed formulas for counting versions of connectivity problems; we show how to evaluate those formulas via dynamic programming.

研究の動機と目的

• 木幅をパrameterとする接続性問題におけるランダム化アルゴリズムと決定的アルゴリズムのギャップを埋める。
• ハミルトン閉路やスティーナー木などのNP困難な接続性問題の重み付きおよびカウントバージョンに対して、効率的な決定的アルゴリズムを開発する。
• 木幅が有界なグラフにおける接続性問題の単一指数時間アルゴリズムで、ランダム化の必要性を排除する。
• 特に行列のランクとデターミナントを用いた線形代数的技術に基づく新しいフレームワークを、木分解における動的計画法の最適化に提供する。

提案手法

• 行列のランクを用いて部分解の代表集合を特定するランクベースの動的計画法アプローチを導入し、状態空間のサイズを削減する。
• マトリクスツリーテーブル定理を用いて、接続性解の数え上げの閉形式式を導出し、その後で動的計画法により評価する。
• ガウスの消去法およびランク削減を用いて、DPテーブルに線形独立な状態のみを保持し、木幅に線形的な依存関係を保証する。
• 木分解のノードにおける結合演算を設計し、子ノードからの状態を状態マッピングの逆置換に基づく符号付き置換を用いて統合する。
• 木分解の走査中に正しさを保証するために、共通の変数（例：sY）を用いて部分木間で一貫した状態表現を実現する。
• 重みの大きさに依存しない擬似多項式コストを発生させることなく、重みなしおよび重み付きの両バージョンの接続性問題を処理できるようにフレームワークを拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 木幅が有界なグラフにおける重み付きおよびカウントバージョンの接続性問題に対して、決定的アルゴリズムが単一指数時間の計算量を達成できるか？
• RQ2 行列のランクやデターミナントといった線形代数的技術を用いて、木分解に基づくアルゴリズムにおける動的計画法の状態を圧縮できるか？
• RQ3 Cut&Countスタイルのアルゴリズムにおけるランダム化を、単一指数時間の実行時間保証を維持したまま排除できるか？
• RQ4 ランクベース手法は、構造的状態空間を持つ他の動的計画法設定へ一般化可能か？
• RQ5 ランクベース圧縮を標準的な木分解に基づく動的計画法パイプラインに統合する実用的妥当性は何か？

主な発見

• 本稿では、パス分解の幅が pw であると与えられた場合、Feedback Vertex Set 問題を Õ(5^pw · pw^O(1) · n^3) 時間で解く決定的アルゴリズムを提示する。
• 木幅が tw の木分解に対して、Feedback Vertex Set 問題は Õ(10^tw · tw^O(1) · n^3) 時間で解かれる。これはランクベース手法の有効性を示している。
• デターミナントベース手法により、ハミルトン閉路やその他の接続性構造の正確なカウントが単一指数時間で可能となり、動的計画法による閉形式評価が可能になる。
• ランクベース手法により、各ノードで処理される状態数が 2^tw で抑えられ、ナイーブな動的計画法に比べて状態空間が顕著に削減される。
• アルゴリズムは木幅に単一指数時間依存を達成しており、最良のランダム化アルゴリズムと同等の性能を示すが、ランダム化を必要としない。
• このフレームワークはブランチ幅へ一般化可能であり、部分解の代数的構造を活用することで、他の問題へも適応可能である。