[論文レビュー] Solving $x^{2^k+1}+x+a=0$ in $\mathbb{F}_{2^n}$ with $\gcd(n,k)=1$

K. H. Kim, Sihem Mesnager|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$ \gcd(n,k) = 1$ の条件下で、$ \mathbb{F}_{2^n}$ 上での方程式 $x^{2^k+1} + x + a = 0$ の完全な解を提示する。M"uller-Cohen-Matthews多項式とディクソン多項式を用いて、$a$ の関数としてすべての可能な解を明示的に計算する。主な貢献は、方程式が0個、1個、または3個の解を持つための完全な特徴付けであり、有限体理論における長年の未解決問題を解消し、すべてのケースに対して明示的な公式を提供する。

ABSTRACT

Let $N_a$ be the number of solutions to the equation $x^{2^k+1}+x+a=0$ in $\GF {n}$ where $\gcd(k,n)=1$. In 2004, by Bluher \cite{BLUHER2004} it was known that possible values of $N_a$ are only 0, 1 and 3. In 2008, Helleseth and Kholosha \cite{HELLESETH2008} have got criteria for $N_a=1$ and an explicit expression of the unique solution when $\gcd(k,n)=1$. In 2014, Bracken, Tan and Tan \cite{BRACKEN2014} presented a criterion for $N_a=0$ when $n$ is even and $\gcd(k,n)=1$. This paper completely solves this equation $x^{2^k+1}+x+a=0$ with only condition $\gcd(n,k)=1$. We explicitly calculate all possible zeros in $\GF{n}$ of $P_a(x)$. New criterion for which $a$, $N_a$ is equal to $0$, $1$ or $3$ is a by-product of our result.

研究の動機と目的

• 前人研究で部分的な結果しか得られていなかった、$\gcd(n,k) = 1$ の下での $\mathbb{F}_{2^n}$ 上の $x^{2^k+1} + x + a = 0$ の方程式を完全に解くこと。
• 解の数と性質を特徴付ける未解決問題を解消し、$\mathbb{F}_{2^n}$ 内のすべての可能な根に対して明示的な公式を提供すること。
• 解の個数（$N_a = 0, 1, 3$）に関する従来の結果を統合・拡張し、代数的構造とトレース条件に基づく新しい基準を導出すること。
• 根の特定問題を、M"uller-Cohen-Matthews多項式およびディクソン多項式の上での前像計算という2つの独立した部分問題に分解すること。

提案手法

• 有限体の性質と特徴2の多項式恒等式を活用して、$k$ が奇数の場合に帰着することで、対称性を利用した問題の簡略化を行う。
• 文献[3]の重要な多項式恒等式を用いて、根の特定問題を2つの独立した部分問題に分解する：M"uller-Cohen-Matthews（MCM）多項式およびディクソン多項式の上での前像計算。
• MCM前像問題は、MCM多項式をドバーティン多項式に関連付けることで解き、方程式 $x^{2^k} + x = b$ のアフィン形に対する明示的解公式を導出する。
• ディクソン多項式の前像問題は、ディクソン多項式の既知の性質、特に恒等式 $D_k(x + 1/x) = x^k + x^{-k}$ を用いて解く。
• 両方の部分問題の結果を組み合わせることで、$a$、$k$、$n$ の関数としてすべての根の明示的表現が得られる。
• 解の個数を決定するためのトレース条件を導出し、$T$ もしくは $T'$ が $\mathbb{F}_{2^n}$ に属するかどうかを判定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\gcd(n,k) = 1$ の下で、$a \in \mathbb{F}_{2^n}^*$ に対して方程式 $x^{2^k+1} + x + a = 0$ が $\mathbb{F}_{2^n}$ でちょうど1つの解を持つための条件は何か？
• RQ2 方程式が3つの異なる解を持つのはいつか？ その解の明示的形は何か？
• RQ3 方程式が解を持たないのはいつか？ その状況を代数的にどのように特徴づけられるか？
• RQ4 M"uller-Cohen-Matthews多項式やディクソン多項式などの既知の特殊多項式を用いて、根を閉形式で表現できるか？

主な発見

• 条件 $\gcd(n,k) = 1$ の下で、方程式 $x^{2^k+1} + x + a = 0$ は $\mathbb{F}_{2^n}$ に正確に0個、1個、または3個の解を持つことが確認され、以前の予想を裏付けた。
• M"uller-Cohen-Matthews多項式およびディクソン多項式を用いて、$a$、$k$、$n$ の関数としてすべての根の明示的公式が提供された。
• 奇数の $k$ の場合、解の個数は、$T = 1 + \frac{1}{S_{n,k}(R_{k,k'}(a^{-q/2}))}$ が $\mu_{2^n+1}^*$ 内の立方数であるか、$\mathbb{F}_{2^n}$ に属するかに依存する。
• 偶数の $k$ の場合、解の個数は、$T' = 1 + \frac{1}{S_{n,l}(R_{l,l'}(a^{-(q')^2/2}))}$ が $\mu_{2^n+1}^*$ 内の立方数であるか、$\mathbb{F}_{2^n}$ に属するかに依存する。
• 奇数の $k$ で $T \in \mathbb{F}_{2^n}$ の場合、方程式は一意の解 $\frac{(c + 1/c)^{q-1}}{Y T_k(1/Y)^{2/q}}$ を持ち、ここで $c = T^{(q+1)^{-1} \mod 2^n - 1}$ かつ $Y = T + 1/T$ である。
• 本研究の結果は、ヘレセスエスとコホローシャ（2008年）およびブロックン他（2014年）の既存の基準を回復・一般化し、単一の枠組みで統合した。