[論文レビュー] Some 3-manifold groups with the same finite quotients

John Hempel|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、非同相な3次元多様体——特に有理オイラー数が0のシーフェルトファイバード空間——の例を構成し、それらの基本群が同一の有限商群をもち、したがって同型なプロファイント完備化を持つが、群同士は同型ではないことを示している。さらに、境界を持つ多様体について、同型な基本群が異なる境界構造をもつが、同じ有限境界ペア商群を持つことを示しており、有限商群のみではこのような3次元多様体群やその境界データを区別できないことを示している。

ABSTRACT

We give examples of closed, oriented 3-manifolds whose fundamental groups are not isomorphic, but yet have the same sets of finite quotient groups; hence the same profinite completions. We also give examples of compact, oriented 3-manifolds with non-empty boundaries whose fundamental groups though isomorphic have distinct peripheral structures, but yet have the same sets of finite peripheral pair quotients (defined below). The examples are Seifert Fibered Spaces with zero rational Euler number; moreover most of these manifolds give rise to such examples.

研究の動機と目的

• 閉じた、向き付け可能な3次元多様体を構成し、非同型な基本群をもちながら、同じ有限商群の集合を持つこと。
• プロファイント完備化だけでは、群が同型でない場合でも特定の3次元多様体群を区別できないことを示すこと。
• 非空の境界をもつコンpakな3次元多様体にまで分析を拡張し、同型な基本群が非同型な境界構造をもつが、同じ有限境界ペア商群を持つことを示すこと。
• 特に周期的モノドロミーをもつ曲面をS¹上に積層した具体例を用いて、特に有理オイラー数が0のシーフェルトファイバード空間を用いて明示的な例を提供すること。
• 特に幾何化と残余有限性の文脈において、プロファイント不変量が3次元多様体群の分類にどこまで有効であるかを明確にすること。

提案手法

• 半直積構成の使用: π₁(Mϕ) ≅ A ⋊ψ ℤ、ここでAは曲面の基本群であり、ψは周期的自己同型である。
• k が ord(ψ) と互いに素であるとき、Gψ × ℤ と Gψᵏ × ℤ は同型であり、したがって同じ有限商群を持つことを利用する。
• G × ℤ ≅ H × ℤ ならば G と H は同じ有限商群を持つという群論的結果（バウムスラグ）を適用する。
• 境界の包含写像による基本群の像 H を用いた群のペア (G, H) の有限商群を通じて境界構造を分析する。
• 有限位数をもつ曲面のモノドロミー ϕ を用い、k が ord(ϕ) と互いに素である場合、π₁(Mϕᵏ) × ℤ ≅ π₁(Mϕ) × ℤ であることを示す。
• 1つの境界成分をもつ曲面に対して、ペア (π₁(Mϕ), i∗(π₁(∂Mϕ))) は群のペアの同型を除いて一意に定義されることを利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非同型な3次元多様体群が同じ有限商群をもつことは可能か？ これは、同型なプロファイント完備化を意味する。
• RQ2 有理オイラー数が0のシーフェルトファイバード空間は、このような非同型群が同じ有限商群を持つ例を提供するか？
• RQ3 境界をもつ3次元多様体の同型な基本群が異なる境界構造をもつが、同じ有限境界ペア商群を持つことは可能か？
• RQ4 モノドロミー自己同型の位数とそのべきが、基本群のプロファイント型を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 プロファイント完備化を超える幾何的・位相的不変量は、このような3次元多様体を区別できるか？

主な発見

• 任意の閉じた、向き付け可能な曲面 F における周期的かつ向きを保つホメオモルフィズム ϕ と、ord(ϕ) と互いに素な整数 k に対して、群 π₁(Mϕ) と π₁(Mϕᵏ) は、非同型であっても同じ有限商群をもつ。
• π₁(Mϕ) と π₁(Mϕᵏ) のプロファイント完備化は同型であり、これはプロファイント完備化がこの非同型な3次元多様体群を区別できないことを示している。
• 境界をもつ多様体（1つの境界成分）に対して、π₁(Mϕ) と π₁(Mϕᵏ) は同型であるが、k ≡ ±1 mod ord(ϕ) でない限り、その境界構造は異なっている。
• 同型な基本群と非同型な境界構造をもつにもかかわらず、有限境界ペア群の商群は同一であり、これは定理1.2による。
• レンズ空間のトーラス・ノード補空間（S² 上の2つの特異ファイバーをもつシーフェルトファイバード空間）の例では、φ(α₁α₂)/2 個の異なる多様体が、同型な基本群と同一の有限境界ペア商群を持つが、非同型な境界系をもつ。
• これらの多様体は互いに巡回被覆の関係にあり、それらが埋め込まれる最小のレンズ空間が、それらを位相的に区別する。しかし、有限商群ではそれらを区別できない。