[論文レビュー] Some Algebraic Properties Of Linear Synchronous Cellular Automata

Sreeya Ghosh, Sumita Basu|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2017

Cellular Automata and Applications参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、1次元線形同期セルオートマトン（CA）の代数的性質を調査し、局所的およびグローバルな遷移関数の関係に焦点を当てる。左シフトおよび右シフトCAが可逆であることを証明し、同じ状態集合を共有する恒等、左シフト、右シフトCAの集合が合成に関してアーベル群をなすことを示し、線形CAの基礎的な代数的構造を確立する。

ABSTRACT

Relation between global transition function and local transition function of a homogeneous one dimensional cellular automaton (CA) is investigated for some standard transition functions. It could be shown that left shift and right shift CA are invertible. The final result of this paper states that the set of all left and right shift CA together with the identity CA on the same set forms an abelian group.

研究の動機と目的

• 1次元一様線形セルオートマトンにおける局所的およびグローバルな遷移関数の関係を分析すること。
• 標準的なCA、特にシフト操作の可逆性を調査すること。
• 同じ状態集合を持つすべてのCAの集合に二項演算を定義し、その代数的性質を研究すること。
• 恒等、左シフト、右シフトCAの集合が合成に関してアーベル群をなすことを確立すること。
• 群論を用いて、線形同期CAの形式的な代数的枠組みを提供すること。

提案手法

• 有限な状態集合Q、グローバルな配置Q^Z、およびグローバルな遷移関数τを用いたセルオートマトンの形式的定義。
• 近隣半径rおよび状態遷移に基づく局所的遷移関数μ_iの定義。
• グローバルな遷移関数の合成を二項演算∗として定義し、(τ₁ ∗ τ₂)(C) = τ₁(τ₂(C)) と表す。
• ∗に関するグローバルな遷移関数の集合における閉包性、結合的、および単位元の証明。
• m-プレースの左シフトおよび右シフト関数が関数的合成により互いに逆関数であることを示す。
• 群論の適用により、恒等、左シフト、右シフトCAの集合が∗に関してアーベル群をなすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元線形同期セルオートマトンにおいて、グローバルな遷移関数と局所的遷移関数の関係は何か？
• RQ2 シフト操作のような標準的なセルオートマトンのうち、可逆であるものはどれであり、その逆関数は何か？
• RQ3 同じ状態集合を持つすべてのCAの集合に二項演算を定義すると、群構造が得られるか？
• RQ4 シフト関数の合成に関して、可換性や閉包性などの代数的性質は成立するか？
• RQ5 恒等、左シフト、右シフトCAの集合は、関数の合成に関して群をなすか？

主な発見

• m-プレースの左シフトCAは可逆であり、その逆関数はm-プレースの右シフトCAであり、逆も同様である。
• すべての左シフトおよび右シフトCAに加え、恒等CAを含む集合は、関数の合成に関してアーベル群をなす。
• 固定された状態集合を持つすべてのCAの集合において、グローバルな遷移関数の合成によって定義される二項演算∗は、結合的かつ閉じている。
• 恒等CAは二項演算∗における単位元として機能する。
• 恒等、左シフト、右シフトCAからなる群はアーベル群である。なぜなら、シフト関数の合成は可換であるからである。
• 2値CAの補完的遷移関数は自分自身を逆関数とし、∗に関して最小の非自明な群をなす。