[論文レビュー] Some applications of differential geometry in the theory of mechanical systems

Mikhail P. Kharlamov|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2014

Advanced Theoretical and Applied Studies in Material Sciences and Geometry参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、曲率形式とシンプレクティック構造を用いて、ジャイロスコピック力を持つ力学系の不変な微分幾何学的枠組みを構築する。一般化されたラグランジュおよびハミルトニアン力学に拡張する。軸対称性をもつ剛体の縮約された運動において、運動量定数、2次元球面の体積形式、および正の関数の積としてジャイロスコピック力が現れ、その軌道は運動量定数に依存する符号付きの曲率によって測地線からずれることが示される。

ABSTRACT

In the paper, some concepts of modern differential geometry are used as a basis to develop an invariant theory of mechanical systems, including systems with gyroscopic forces. An interpretation of systems with gyroscopic forces in the form of flows of a given geodesic curvature is proposed. For illustration, the problem of the motion of a rigid body about a fixed point in an axially symmetric force field is examined. The form of gyroscopic forces of the reduced system is calculated. It is shown that this form is a product of the momentum constant, the volume form of the 2-sphere, and an explicitly written everywhere positive function on the sphere.

研究の動機と目的

• 現代の微分幾何学を用いて、座標に依存しない不変な力学系の定式化を発展させ、従来のラグランジュおよびハミルトニアンの枠組みを超えること。
• 局所座標の依存性を避けることにより、グローバルに一貫した方法でジャイロスコピック力を含む力学系理論を一般化すること。
• ジャイロスコピック力を有する系を、特に対称的配置において、曲がった多様体上の一定の測地線曲率の流れとして解釈すること。
• 軸対称場内での固定点まわりの剛体の縮約された運動を、不変な幾何的構造を用いて解析すること。

提案手法

• 本稿では、配置多様体 M、計量 m、ポテンシャル関数 V からなる三つ組 (M, m, V) を自然力学系として定義し、運動エネルギーを計量から導出する。
• ラグランジュ1形式 θ とその外微分 σ = dθ を導入し、接 bundle T(M) にシンプレクティック構造を導入することで、ハミルトニアン形式化を可能にする。
• ジャイロスコピック力を持つ系に対しては、4つ組 (M, m, V, κ) をモデル化し、κ をジャイロスコピック力場を表す閉じた2形式とする。
• 対称性による縮約を用いて、2次元球面 S² 上の縮約系を構築し、元の系の不変量から得られる計量 m̃ と修正されたポテンシャル Ṽ_k を導出する。
• 接続 J₀ の曲率形式 g を、SO(3) 上の左不変1形式 ωᵢ を用いて計算し、水平部分空間への制限によりジャイロスコピック力形式が得られる。
• 最終的なジャイロスコピック力の形は、S² の体積形式に比例し、慣性モーメントと運動量定数 k に依存する係数を有する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分幾何学を用いて、座標に依存しないグローバルに不変な方法で、ジャイロスコピック力を有する力学系をどのように定式化できるか？
• RQ2 固定点まわりの軸対称場内での剛体の縮約された運動は、S² 上のジャイロスコピック力を有する力学系として記述可能か？
• RQ3 縮約系におけるジャイロスコピック力の幾何的性質は何か？ また、曲率およびシンプレクティック構造とどのように関係するか？
• RQ4 縮約系の軌道は測地線からどのようにずれるか？ そのずれの方向は何かが決定するか？

主な発見

• 固定点まわりの軸対称場内での剛体の縮約系は、S² 上のジャイロスコピック力を有する力学系であり、計量 m̃ が共形的に等価で、修正されたポテンシャル Ṽ_k を有する。
• ジャイロスコピック力の形は、k·g̃ = k が S² の体積形式に正の関数を乗じた形に比例しており、慣性モーメントと角運動量成分の有理関数として明示的に与えられる。
• 体積形式の係数は、慣性モーメントの三角不等式により S² 上で一定の符号を持つため、ジャイロスコピック力はグローバルに適切に定義され、非退化である。
• エネルギー定数 h を持つ縮約系の軌道は、計量 m̃_h において変曲点を持たず、測地線経路に対して k > 0 の場合は右に、k < 0 の場合は左に曲がる。
• 水平部分空間への制限された曲率形式 g は、SO(3) 上の左不変1形式から導出され、αᵢ の微分と ωᵢ⁰ の導関数を含む表現を持つ。制約条件 I₁α₁ω₁⁰ + I₂α₂ω₂⁰ + I₃α₃ω₃⁰ = 0 を用いて、最終的な表現が簡略化される。
• すべての幾何的構造は対称性群に関して不変であり、局所座標に依存せず、形式、接続、曲率といった内在的な微分幾何的対象に依存する。