[論文レビュー] Some applications of Rice formulas to waves

Jean‐Marc Azäis, José R. León+1 more|ArXiv.org|Oct 5, 2009

Ocean Waves and Remote Sensing参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、波動場における幾何的関数値（特に期待値および2次モーメント）である鏡像点、瞬き、不連続、レベル集合測度の計算にRiceの公式を適用する。特に、海洋学および光学分野におけるガウス確率場モデル下でのこれらの関数値に対する明示的公式を導出し、高次モーメント計算を用いて特定の関数値に関して中心極限定理を確立する。

ABSTRACT

We use Rice's formulas in order to compute the moments of some level functionals which are linked to problems in oceanography and optics. For instance, we consider the number of specular points in one or two dimensions, the number of twinkles, the distribution of normal angle of level curves and the number or the length of dislocations in random wavefronts. We compute expectations and in some cases, also second moments of such functionals. Moments of order greater than one are more involved, but one needs them whenever one wants to perform statistical inference on some parameters in the model or to test the model itself. In some case we are able to use these computations to obtain a Central Limit Theorem.

研究の動機と目的

• 1次元および2次元のランダム波面における鏡像点の期待値および2次モーメントを計算すること。
• 時間変動する波面から生じる最大反射強度の瞬間的点（瞬き）の分布を分析すること。
• 波動の位相が消失する場所（位相特異点）として定義される不連続の波面における性質を、特に2次元および3次元の設定で研究すること。
• レベル集合の期待Hausdorff測度（高次モーメントを含む）に対する明示的公式を導出すること。
• 高次モーメント計算を用いて、波面の幾何的関数値に関して中心極限定理が成り立つ条件を確立すること。

提案手法

• ランダム場のゼロ点およびその微分の期待値を計算するため、Riceの公式を用いる。特に、レベル集合および臨界点に適用する。
• 鏡像点の条件を $ W_x(x,t) = kx $ に簡略化するため、Longuet-Higginsの近似を適用し、モーメント計算を容易にする。
• ガウス確率場の勾配およびヘッセ行列の同時特性関数を導出し、不連続および瞬きの数のモーメントを計算する。
• 多次元複素ガウス場表現およびモーメント母関数を用いて、場およびその微分値の同時分布上での積分を計算する。
• 留数計算および代数的変形を用いて、特性関数の逆転から生じる高次元積分を評価する。
• 問題を文献に既知の公式（例：[6]）と同等の形式に変換し、比較による導出の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Longuet-Higginsの近似のもとで、ランダム波面における鏡像点の期待数は何か？
• RQ2 時間依存のランダム波動場において、瞬きの数の2次モーメントはどのように計算できるか？
• RQ3 独立な実部および虚部をもつ2次元または3次元のランダム波面における不連続（位相特異点）の期待数は何か？
• RQ4 高次モーメント計算を基に、レベル集合の交差数または不連続の数に関して中心極限定理を確立できるか？
• RQ5 $ \mathbb{R}^d $ 内のガウス確率場 $ W(\mathbf{x}) $ に対して、レベル集合 $ \{ \mathbf{x} : W(\mathbf{x}) = \mathbf{u} \} $ の期待Hausdorff測度は何か？

主な発見

• Longuet-Higginsの近似のもとで、1次元波動場における鏡像点の期待数はRiceの公式を用いて明示的に計算された。
• 波動場の勾配およびヘッセ行列の同時分布を用いて、瞬きの数の2次モーメントが導出され、波動のダイナミクスに関する統計的推論が可能になった。
• 独立した実部および虚部をもつ2次元ランダム波面において、不連続の期待数が有限であり、2つのガウス場の共同ゼロ集合を用いて計算可能であることが示された。
• 波動場の勾配およびヘッセ行列の特性関数に対する閉形式の式が導出され、これにより不連続および瞬きの分布の計算が可能になった。
• 波動場の微分のモーメント母関数に対する導出式が、既存の文献結果と一致することが示され、手法の妥当性が裏付けられた。
• 適切なモーメントおよび混合条件のもとで、レベル集合交差数に関して中心極限定理が確立された。これは計算された2次モーメントに基づく。